16 октября 2026 Сириус ответы и задания для олимпиады по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс школьный этап

Сириус по математике 4-11 класс готовые ответы и задания 3-4 группа школьный этап 16.10.2026. Бесплатные правильные ответы и решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класса олимпиада по математике школьный этап 2026 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для регионов Сириус дата проведения 16 октября онлайн на сайте uts.sirius.online

4 класс

Учитель записал на доске четыре подряд идущих четырёхзначных числа. Затем стёр некоторые цифры.

Восстановите цифры в пропусках.

Ответ: 1-я строка — 3; 9; 6; 2-я строка — 3; 6; 9; 3-я строка — 3; 9; 0; 4-я строка — 9; 7; 1

Задание 1.2

Учитель записал на доске четыре подряд идущих четырёхзначных числа. Затем стёр некоторые цифры.

Восстановите цифры в пропусках.

Ответ: 1-я строка — 4; 7; 7; 2-я строка — 4; 7; 9; 3-я строка — 4; 7; 0; 4-я строка — 7; 8; 1

Задание 1.3

Учитель записал на доске четыре подряд идущих четырёхзначных числа. Затем стёр некоторые цифры.

Восстановите цифры в пропусках.

Ответ: 1-я строка — 5; 6; 4; 2-я строка — 5; 4; 9; 3-я строка — 5; 6; 0; 4-я строка — 6; 5; 1

Задание 1.4

Учитель записал на доске четыре подряд идущих четырёхзначных числа. Затем стёр некоторые цифры.

Восстановите цифры в пропусках.

Ответ: 1-я строка — 2; 3; 5; 2-я строка — 2; 5; 9; 3-я строка — 2; 3; 0; 4-я строка — 3; 6; 1

Задание 2

В гонке участвовали 4 велосипедиста: Коля, Оля, Толя, Галя. Они стартовали друг за другом в каком-то порядке. Сначала второй велосипедист обогнал первого. Потом предпоследний обогнал двоих велосипедистов впереди себя. Затем последний обогнал двоих, ехавших перед ним. Они финишировали в таком порядке:

В каком порядке стартовали велосипедисты?

• Толя
• Коля
• Оля
• Галя

Ответ: Оля → Толя → Коля → Галя

Задание 2.2

В гонке участвовали 4 велосипедиста: Коля, Оля, Толя, Галя. Они стартовали друг за другом в каком-то порядке. Сначала второй велосипедист обогнал первого. Потом предпоследний обогнал двоих велосипедистов впереди себя. Затем последний обогнал двоих, ехавших перед ним. Они финишировали в таком порядке:

В каком порядке стартовали велосипедисты?

• Толя
• Коля
• Оля
• Галя

Ответ: Коля → Галя → Оля → Толя

Задание 2.3

В гонке участвовали 4 велосипедиста: Коля, Оля, Толя, Галя. Они стартовали друг за другом в каком-то порядке. Сначала второй велосипедист обогнал первого. Потом предпоследний обогнал двоих велосипедистов впереди себя. Затем последний обогнал двоих, ехавших перед ним. Они финишировали в таком порядке:

В каком порядке стартовали велосипедисты?

• Толя
• Коля
• Оля
• Галя

Ответ: Галя → Коля → Толя → Оля

Задание 2.4

В гонке участвовали 4 велосипедиста: Коля, Оля, Толя, Галя. Они стартовали друг за другом в каком-то порядке. Сначала второй велосипедист обогнал первого. Потом предпоследний обогнал двоих велосипедистов впереди себя. Затем последний обогнал двоих, ехавших перед ним. Они финишировали в таком порядке:

В каком порядке стартовали велосипедисты?

• Толя
• Коля
• Оля
• Галя

Ответ: Толя → Оля → Галя → Коля

Задание 3

Семь человек — Аня, Ваня, Таня, Соня, Катя, Петя и Федя — встали в круг и взялись за руки. Каждый взял за руки двоих.

Известно, что:

• Соня взяла за руку Петю, но не брала за руку Таню,
• Федя взял за руки Аню и Катю,
• Аня взяла за руку Петю.

Кого взял за руки Ваня?

• Катю
• Соню
• Аню
• Таню
• Петю
• Федю

Ответ: Соня и Таня

Задание 3.2

Семь человек — Аня, Ваня, Таня, Соня, Катя, Петя и Федя — встали в круг и взялись за руки. Каждый взял за руки двоих.

Известно, что:

• Федя взял за руку Аню, но не брал за руку Ваню,
• Соня взяла за руки Петю и Катю,
• Петя взял за руку Аню.

Кого взяла за руки Таня?

• Ваню
• Петю
• Федю
• Соню
• Аню
• Катю

Ответ: Ваня и Федя

Задание 3.3

Семь человек — Аня, Ваня, Таня, Соня, Катя, Петя и Федя — встали в круг и взялись за руки. Каждый взял за руки двоих.

Известно, что:

• Петя взял за руку Катю, но не брал за руку Соню,
• Ваня взял за руки Аню и Таню,
• Аня взяла за руку Катю.

Кого взял за руки Федя?

• Ваню
• Катю
• Аню
• Петю
• Соню
• Таню

Ответ: Петя и Соня

Задание 3.4

Семь человек — Аня, Ваня, Таня, Соня, Катя, Петя и Федя — встали в круг и взялись за руки. Каждый взял за руки двоих.

Известно, что:

• Аня взяла за руку Петю, но не брала за руку Ваню,
• Федя взял за руки Соню и Таню,
• Соня взяла за руку Петю.

Кого взяла за руки Катя?

• Таню
• Ваню
• Петю
• Аню
• Федю
• Соню

Ответ: Аня и Ваня

Задание 4

Оля разрезала квадратный лист бумаги на четыре части, три из которых — квадраты. Площади квадратных частей указаны на рисунке (в квадратных сантиметрах).

Найдите площадь четвёртой части. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: 75

Задание 4.2

Оля разрезала квадратный лист бумаги на четыре части, три из которых — квадраты. Площади квадратных частей указаны на рисунке (в квадратных сантиметрах).

Найдите площадь четвёртой части. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: 45

Задание 4.3

Оля разрезала квадратный лист бумаги на четыре части, три из которых — квадраты. Площади квадратных частей указаны на рисунке (в квадратных сантиметрах).

Найдите площадь четвёртой части. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: 55

Задание 4.4

Оля разрезала квадратный лист бумаги на четыре части, три из которых — квадраты. Площади квадратных частей указаны на рисунке (в квадратных сантиметрах).

Найдите площадь четвёртой части. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: 84

Задание 5

Выберите все развёртки, из которых можно сложить коробку с квадратным основанием, как показано на рисунке:

Ответ: 2; 3; 4; 7

Задание 5.2

Выберите все развёртки, из которых можно сложить коробку с квадратным основанием, как показано на рисунке:

Ответ: 2; 4; 5; 6

Задание 5.3

Выберите все развёртки, из которых можно сложить коробку с квадратным основанием, как показано на рисунке:

Ответ: 1; 4; 6; 7

Задание 5.4

Выберите все развёртки, из которых можно сложить коробку с квадратным основанием, как показано на рисунке:

Ответ: 1; 2; 5; 6

Задание 6

В сокровищнице хранится семь шкатулок с драгоценностями, каждая шкатулка имеет кодовый замок из трёх цифр.

У хранителя есть коды от замков шести шкатулок: 141, 212, 232, 323, 343, 434, а один код он потерял. К тому же он забыл, как соотносятся коды и шкатулки.

На шкатулках есть подсказки: одинаковыми символами обозначены одинаковые цифры, а разными — разные. Найдите недостающий код.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

В сокровищнице хранится семь шкатулок с драгоценностями, каждая шкатулка имеет кодовый замок из трёх цифр.

У хранителя есть коды от замков шести шкатулок: 141, 212, 232, 323, 343, 434, а один код он потерял. К тому же он забыл, как соотносятся коды и шкатулки.

На шкатулках есть подсказки: одинаковыми символами обозначены одинаковые цифры, а разными — разные. Найдите недостающий код.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

В сокровищнице хранится семь шкатулок с драгоценностями, каждая шкатулка имеет кодовый замок из трёх цифр.

У хранителя есть коды от замков шести шкатулок: 141, 212, 232, 323, 343, 434, а один код он потерял. К тому же он забыл, как соотносятся коды и шкатулки.

На шкатулках есть подсказки: одинаковыми символами обозначены одинаковые цифры, а разными — разные. Найдите недостающий код.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

В сокровищнице хранится семь шкатулок с драгоценностями, каждая шкатулка имеет кодовый замок из трёх цифр.

У хранителя есть коды от замков шести шкатулок: 141, 212, 232, 323, 343, 434, а один код он потерял. К тому же он забыл, как соотносятся коды и шкатулки.

На шкатулках есть подсказки: одинаковыми символами обозначены одинаковые цифры, а разными — разные. Найдите недостающий код.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Егор записал пример на сложение трёх пятизначных чисел столбиком. Затем он разрезал пример на вертикальные полоски и перемешал их, как показано на рисунке.

Восстановите изначальный пример. В ответ запишите результат сложения.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Егор записал пример на сложение трёх пятизначных чисел столбиком. Затем он разрезал пример на вертикальные полоски и перемешал их, как показано на рисунке.

Восстановите изначальный пример. В ответ запишите результат сложения.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Егор записал пример на сложение трёх пятизначных чисел столбиком. Затем он разрезал пример на вертикальные полоски и перемешал их, как показано на рисунке.

Восстановите изначальный пример. В ответ запишите результат сложения.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Егор записал пример на сложение трёх пятизначных чисел столбиком. Затем он разрезал пример на вертикальные полоски и перемешал их, как показано на рисунке.

Восстановите изначальный пример. В ответ запишите результат сложения.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Фигуры одинаковой формы весят одинаково. Результаты трёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Какие наборы фигур уравновесят круг и звезду на четвёртых весах? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Фигуры одинаковой формы весят одинаково. Результаты трёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Какие наборы фигур уравновесят круг и треугольник на четвёртых весах? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Фигуры одинаковой формы весят одинаково. Результаты трёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Какие наборы фигур уравновесят круг и треугольник на четвёртых весах? Выберите все подходящие варианты.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Фигуры одинаковой формы весят одинаково. Результаты трёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Какие наборы фигур уравновесят квадрат и треугольник на четвёртых весах? Выберите все подходящие варианты.

Ответ: Посмотреть ответ

5 класс

Коврик сшит из одинаковых лоскутков двух видов: квадратных и прямоугольных, как показано на рисунке. Прямоугольные лоскутки имеют размеры 13 × 31 см.

Найдите сторону квадратного лоскутка. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 9

Задание 1.2

Коврик сшит из одинаковых лоскутков двух видов: квадратных и прямоугольных, как показано на рисунке. Прямоугольные лоскутки имеют размеры 13 × 27 см.

Найдите сторону квадратного лоскутка. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 7

Задание 1.3

Коврик сшит из одинаковых лоскутков двух видов: квадратных и прямоугольных, как показано на рисунке. Прямоугольные лоскутки имеют размеры 11 × 23 см.

Найдите сторону квадратного лоскутка. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 6

Задание 1.4

Коврик сшит из одинаковых лоскутков двух видов: квадратных и прямоугольных, как показано на рисунке. Прямоугольные лоскутки имеют размеры 12 × 28 см.

Рисунок к №1.4

Найдите сторону квадратного лоскутка. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 8

Задание 2

Миша вычитал из одного двузначного числа другое и допустил две ошибки: в разряде десятков уменьшаемого вместо 5 написал 8, а в разряде единиц вычитаемого вместо 9 написал 3. В итоге он получил разность 54. Какая разность должна была получиться, если бы Миша не допустил ошибок?

Ответ: 18

Задание 2.2

Миша вычитал из одного двузначного числа другое и допустил две ошибки: в разряде десятков уменьшаемого вместо 5 написал 8, а в разряде единиц вычитаемого вместо 9 написал 3. В итоге он получил разность 63. Какая разность должна была получиться, если бы Миша не допустил ошибок?

Ответ: 27

Задание 2.3

Миша вычитал из одного двузначного числа другое и допустил две ошибки: в разряде десятков уменьшаемого вместо 5 написал 8, а в разряде единиц вычитаемого вместо 9 написал 3. В итоге он получил разность 52. Какая разность должна была получиться, если бы Миша не допустил ошибок?

Ответ: 16

Задание 2.4

Миша вычитал из одного двузначного числа другое и допустил две ошибки: в разряде десятков уменьшаемого вместо 5 написал 8, а в разряде единиц вычитаемого вместо 9 написал 3. В итоге он получил разность 65. Какая разность должна была получиться, если бы Миша не допустил ошибок?

Ответ: 29

Задание 3

Астроном заменил буквы А, С, Т, Е, Р, О, И, Д различными цифрами, не равными нулю. Затем он заметил, что выполняются два условия:

А < И < Е < Т < О < Р < С < Д

А + И + Е + Т + О = Р + С

Замените буквы теми же цифрами, что и астроном. Чему равно число ТРИ?

Ответ: 472

Задание 3.2

Астроном заменил буквы А, С, Т, Е, Р, О, И, Д различными цифрами, не равными нулю. Затем он заметил, что выполняются два условия:

А < Т < Е < О < И < Р < С < Д

А + Т + Е + О + И = Р + С

Замените буквы теми же цифрами, что и астроном. Чему равно число ТРИ?

Ответ: 275

Задание 3.3

Астроном заменил буквы А, С, Т, Е, Р, О, И, Д различными цифрами, не равными нулю. Затем он заметил, что выполняются два условия:

А < Е < И < О < Р < С < Т < Д

А + Е + И + О + Р = С + Т

Замените буквы теми же цифрами, что и астроном. Чему равно число ТРИ?

Ответ: 853

Задание 3.4

Астроном заменил буквы А, С, Т, Е, Р, О, И, Д различными цифрами, не равными нулю. Затем он заметил, что выполняются два условия:

А < Е < Т < О < И < С < Р < Д

А + Е + Т + О + И = С + Р

Замените буквы теми же цифрами, что и астроном. Чему равно число ТРИ?

Ответ: 385

Задание 4

Используя пять из шести приведённых на рисунке фигур, требуется сложить квадрат без пропусков и наложений. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать. Какая фигура останется лишней?

Ответ: 2

Задание 4.2

Используя пять из шести приведённых на рисунке фигур, требуется сложить квадрат без пропусков и наложений. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать. Какая фигура останется лишней?

Рисунок к №4.2

Ответ: 4

Задание 4.3

Используя пять из шести приведённых на рисунке фигур, требуется сложить квадрат без пропусков и наложений. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать. Какая фигура останется лишней?

Рисунок к №4.3

Ответ: 5

Задание 4.4

Используя пять из шести приведённых на рисунке фигур, требуется сложить квадрат без пропусков и наложений. Фигуры разрешается поворачивать и переворачивать. Какая фигура останется лишней?

Рисунок к №4.4

Ответ: 3

Задание 5

Бабушка хочет приготовить ягодное варенье и попросила троих внуков собрать ягоды в огороде. Яша собирает 5 ягод каждые 3 секунды, Маша — 6 ягод каждые 4 секунды, а Лёша — 11 ягод каждые 6 секунд. За сколько секунд они все вместе соберут 120 ягод?

Ответ: 24

Задание 5.2

Бабушка хочет приготовить ягодное варенье и попросила троих внуков собрать ягоды в огороде. Яша собирает 5 ягод каждые 3 секунды, Маша — 6 ягод каждые 4 секунды, а Лёша — 11 ягод каждые 6 секунд. За сколько секунд они все вместе соберут 180 ягод?

Ответ: 36

Задание 5.3

Бабушка хочет приготовить ягодное варенье и попросила троих внуков собрать ягоды в огороде. Яша собирает 2 ягоды каждые 3 секунды, Маша — 6 ягод каждые 4 секунды, а Лёша — 7 ягод каждые 6 секунд. За сколько секунд они все вместе соберут 200 ягод?

Ответ: 60

Задание 5.4

Бабушка хочет приготовить ягодное варенье и попросила троих внуков собрать ягоды в огороде. Яша собирает 4 ягоды каждые 3 секунды, Маша — 6 ягод каждые 4 секунды, а Лёша — 8 ягод каждые 6 секунд. За сколько секунд они все вместе соберут 200 ягод?

Ответ: 48

Задание 6

Шесть гномов — Беня, Ваня, Гена, Даня, Лёня и Сеня — живут в домах с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, расположенных вдоль одной улицы.

Известно, что:

• Сеня и Даня живут в соседних домах,
• номер дома Бени на 4 больше номера Дани,
• номер дома Вани на 3 меньше номера Бени,
• Ваня и Лёня живут по разные стороны от домика Гены.

Кто в каком домике живёт?

Дома: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Гномы: Сеня, Беня, Ваня, Даня, Гена, Лёня

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Шесть гномов — Беня, Ваня, Гена, Даня, Лёня и Сеня — живут в домах с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, расположенных вдоль одной улицы.

Рисунок к №6.2

Известно, что:

• Ваня и Сеня живут в соседних домах,
• номер дома Дани на 4 больше номера Сени,
• номер дома Гены на 3 меньше номера Дани,
• Гена и Лёня живут по разные стороны от домика Бени.

Кто в каком домике живёт?

Дома: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Гномы: Ваня, Беня, Даня, Сеня, Гена, Лёня

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Шесть гномов — Беня, Ваня, Гена, Даня, Лёня и Сеня — живут в домах с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, расположенных вдоль одной улицы.

Рисунок к №6.3

Известно, что:

• Даня и Сеня живут в соседних домах,
• номер дома Вани на 4 больше номера Сени,
• номер дома Бени на 3 меньше номера Вани,
• Беня и Лёня живут по разные стороны от домика Гены.

Кто в каком домике живёт?

Дома: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Гномы: Сеня, Беня, Лёня, Гена, Даня, Ваня

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Шесть гномов — Беня, Ваня, Гена, Даня, Лёня и Сеня — живут в домах с номерами 1, 2, 3, 4, 5, 6, расположенных вдоль одной улицы.

Рисунок к №6.4

Известно, что:

• Беня и Сеня живут в соседних домах,
• номер дома Гены на 4 больше номера Сени,
• номер дома Дани на 3 меньше номера Гены,
• Даня и Лёня живут по разные стороны от домика Вани.

Кто в каком домике живёт?

Дома: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Гномы: Ваня, Беня, Сеня, Гена, Лёня, Даня

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Пять дней подряд Гриша делал домашнее задание по математике, биологии и литературе, затрачивая на три предмета в сумме 24 минуты. За пять дней он потратил на каждый предмет в общей сложности одинаковое время. Гриша записывал в таблицу, сколько минут он потратил на каждый предмет каждый день, но некоторые данные внести забыл. Сколько минут потратил Гриша на выполнение домашнего задания по каждому предмету в пятницу?

	Математика	Биология	Литература	За день
Понедельник	6	12		24
Вторник		8	3	24
Среда	11		7	24
Четверг	8	6	10	24
Пятница				24

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Пять дней подряд Гриша делал домашнее задание по математике, биологии и литературе, затрачивая на три предмета в сумме 24 минуты. За пять дней он потратил на каждый предмет в общей сложности одинаковое время. Гриша записывал в таблицу, сколько минут он потратил на каждый предмет каждый день, но некоторые данные внести забыл. Сколько минут потратил Гриша на выполнение домашнего задания по каждому предмету в пятницу?

	Математика	Биология	Литература	За день
Понедельник	9	8		24
Вторник		9	5	24
Среда	5		10	24
Четверг	12	4	8	24
Пятница				24

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Пять дней подряд Гриша делал домашнее задание по математике, биологии и литературе, затрачивая на три предмета в сумме 24 минуты. За пять дней он потратил на каждый предмет в общей сложности одинаковое время. Гриша записывал в таблицу, сколько минут он потратил на каждый предмет каждый день, но некоторые данные внести забыл. Сколько минут потратил Гриша на выполнение домашнего задания по каждому предмету в пятницу?

	Математика	Биология	Литература	За день
Понедельник	7	8		24
Вторник		9	3	24
Среда	5		10	24
Четверг	10	7	7	24
Пятница				24

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Пять дней подряд Гриша делал домашнее задание по математике, биологии и литературе, затрачивая на три предмета в сумме 24 минуты. За пять дней он потратил на каждый предмет в общей сложности одинаковое время. Гриша записывал в таблицу, сколько минут он потратил на каждый предмет каждый день, но некоторые данные внести забыл. Сколько минут потратил Гриша на выполнение домашнего задания по каждому предмету в пятницу?

	Математика	Биология	Литература	За день
Понедельник	7	9		24
Вторник		7	3	24
Среда	5		10	24
Четверг	11	5	8	24
Пятница				24

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Фигуры одинаковой формы весят одинаково, каждая фигура весит целое число граммов. Круг, квадрат и треугольник в сумме весят 25 граммов. Результаты четырёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Найдите массу круга. Ответ выразите в граммах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Фигуры одинаковой формы весят одинаково, каждая фигура весит целое число граммов. Круг, квадрат и треугольник в сумме весят 30 граммов. Результаты четырёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Найдите массу круга. Ответ выразите в граммах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Фигуры одинаковой формы весят одинаково, каждая фигура весит целое число граммов. Круг, квадрат и треугольник в сумме весят 35 граммов. Результаты четырёх взвешиваний на чашечных весах показаны на рисунке.

Найдите массу круга. Ответ выразите в граммах.

Ответ: Посмотреть ответ

6 класс

Квадрат разрезали на четыре равных прямоугольника, а из них сложили изображённую на рисунке фигуру, периметр которой равен 88.

Чему равен периметр первоначального квадрата?

Ответ: 64

Задание 1.2

Квадрат разрезали на четыре равных прямоугольника, а из них сложили изображённую на рисунке фигуру, периметр которой равен 66.

Чему равен периметр первоначального квадрата?

Ответ: 48

Задание 1.3

Квадрат разрезали на четыре равных прямоугольника, а из них сложили изображённую на рисунке фигуру, периметр которой равен 132.

Чему равен периметр первоначального квадрата?

Ответ: 96

Задание 1.4

Квадрат разрезали на четыре равных прямоугольника, а из них сложили изображённую на рисунке фигуру, периметр которой равен 110.

Чему равен периметр первоначального квадрата?

Ответ: 80

Задание 2

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 78 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за 48 секунд. Длина поезда 960 метров. Найдите скорость пешехода. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 6

Задание 2.2

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 58 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за 56 секунд. Длина поезда 840 метров. Найдите скорость пешехода. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 4

Задание 2.3

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за 57 секунд. Длина поезда 950 метров. Найдите скорость пешехода. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 3

Задание 2.4

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 50 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям пешехода за 72 секунды. Длина поезда 900 метров. Найдите скорость пешехода. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 5

Задание 3

Шесть рыцарей и некоторое количество лжецов встали в круг так, чтобы каждый из них мог произнести фразу «Оба моих соседа — лжецы». Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сколько могло быть лжецов?

Определите наименьшее возможное число лжецов.

Определите наибольшее возможное число лжецов.

Ответ: 6; 12

Задание 3.2

Семь рыцарей и некоторое количество лжецов встали в круг так, чтобы каждый из них мог произнести фразу «Оба моих соседа — лжецы». Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сколько могло быть лжецов?

Определите наименьшее возможное число лжецов.

Определите наибольшее возможное число лжецов.

Ответ: 7; 14

Задание 3.3

Восемь рыцарей и некоторое количество лжецов встали в круг так, чтобы каждый из них мог произнести фразу «Оба моих соседа — лжецы». Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сколько могло быть лжецов?

Определите наименьшее возможное число лжецов.

Определите наибольшее возможное число лжецов.

Ответ: 8; 16

Задание 3.4

Пять рыцарей и некоторое количество лжецов встали в круг так, чтобы каждый из них мог произнести фразу «Оба моих соседа — лжецы». Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. Сколько могло быть лжецов?

Определите наименьшее возможное число лжецов.

Определите наибольшее возможное число лжецов.

Ответ: 5; 10

Задание 4

Одно положительное число поделили на другое. Оказалось, что частное на 0,12 меньше делителя и в 5 раз больше делимого. Найдите делимое.

Ответ: 0,016

Задание 4.2

Одно положительное число поделили на другое. Оказалось, что частное на 0,3 меньше делителя и в 2 раза больше делимого. Найдите делимое.

Ответ: 0,1

Задание 4.3

Одно положительное число поделили на другое. Оказалось, что частное на 0,09 меньше делителя и в 10 раз больше делимого. Найдите делимое.

Ответ: 0,001

Задание 4.4

Одно положительное число поделили на другое. Оказалось, что частное на 0,15 меньше делителя и в 4 раза больше делимого. Найдите делимое.

Ответ: 0,025

Задание 5

Над озёрами летела стая уток. На каждом озере садилась треть пролетающих над ним уток, а остальные летели дальше. После двух озёр оказалось, что в полёте осталось больше 30, но меньше 35 уток. Сколько уток могло быть вначале? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 72

Задание 5.2

Над озёрами летела стая уток. На каждом озере садилась треть пролетающих над ним уток, а остальные летели дальше. После двух озёр оказалось, что в полёте осталось больше 35, но меньше 40 уток. Сколько уток могло быть вначале? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 81

Задание 5.3

Над озёрами летела стая уток. На каждом озере садилась треть пролетающих над ним уток, а остальные летели дальше. После двух озёр оказалось, что в полёте осталось больше 25, но меньше 30 уток. Сколько уток могло быть вначале? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 63

Задание 5.4

Над озёрами летела стая уток. На каждом озере садилась треть пролетающих над ним уток, а остальные летели дальше. После двух озёр оказалось, что в полёте осталось больше 20, но меньше 26 уток. Сколько уток могло быть вначале? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 54

Задание 6

Сколько решений имеет ребус Р · Е · (Б + У + С) = 39, если разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Сколько решений имеет ребус Р · Е · (Б + У + С) = 22, если разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Сколько решений имеет ребус Р · Е · (Б + У + С) = 33, если разным буквам соответствуют разные цифры, а одинаковым — одинаковые?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Сколько решений имеет ребус Р · Е · (Б + У + С) = 77, если разным буквам соответствуют разные ненулевые цифры, а одинаковым — одинаковые?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Все правильные дроби со знаменателями от 19 до 21 (всего 57 дробей) записали в порядке возрастания. Какая дробь записана следующей после 17/21?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Все правильные дроби со знаменателями от 13 до 15 (всего 39 дробей) записали в порядке возрастания. Какая дробь записана следующей после 11/15?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Все правильные дроби со знаменателями от 17 до 19 (всего 51 дробь) записали в порядке возрастания. Какая дробь записана следующей после 14/19?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Все правильные дроби со знаменателями от 23 до 25 (всего 69 дробей) записали в порядке возрастания. Какая дробь записана следующей после 19/25?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Васю попросили написать шесть таких натуральных чисел, чтобы разности между любыми двумя соседними числами были одинаковыми. Он написал числа 115, 139, 151, 157 и 175. При этом выяснилось, что одно число он просто забыл написать, а ещё в одном ошибся. Какое число он мог забыть написать? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Васю попросили написать шесть таких натуральных чисел, чтобы разности между любыми двумя соседними числами были одинаковыми. Он написал числа 117, 141, 153, 159 и 177. При этом выяснилось, что одно число он просто забыл написать, а ещё в одном ошибся. Какое число он мог забыть написать? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Васю попросили написать шесть таких натуральных чисел, чтобы разности между любыми двумя соседними числами были одинаковыми. Он написал числа 113, 137, 149, 155 и 173. При этом выяснилось, что одно число он просто забыл написать, а ещё в одном ошибся. Какое число он мог забыть написать? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Васю попросили написать шесть таких натуральных чисел, чтобы разности между любыми двумя соседними числами были одинаковыми. Он написал числа 111, 135, 147, 153 и 171. При этом выяснилось, что одно число он просто забыл написать, а ещё в одном ошибся. Какое число он мог забыть написать? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

7 класс

Буратино нашёл волшебный игральный автомат. Если в него положить 37 монет, то автомат выдаст столько денег, сколько осталось у играющего. Сыграв три раза, Буратино понял, что у него осталось всего 18 монет и что больше играть он не сможет. А сколько монет у него было в самом начале?

Ответ: 67

Задание 1.2

Буратино нашёл волшебный игральный автомат. Если в него положить 38 монет, то автомат выдаст столько денег, сколько осталось у играющего. Сыграв три раза, Буратино понял, что у него осталось всего 20 монет и что больше играть он не сможет. А сколько монет у него было в самом начале?

Ответ: 69

Задание 1.3

Буратино нашёл волшебный игральный автомат. Если в него положить 39 монет, то автомат выдаст столько денег, сколько осталось у играющего. Сыграв три раза, Буратино понял, что у него осталось всего 22 монеты и что больше играть он не сможет. А сколько монет у него было в самом начале?

Ответ: 71

Задание 1.4

Буратино нашёл волшебный игральный автомат. Если в него положить 36 монет, то автомат выдаст столько денег, сколько осталось у играющего. Сыграв три раза, Буратино понял, что у него осталось всего 16 монет и что больше играть он не сможет. А сколько монет у него было в самом начале?

Ответ: 65

Задание 2

В коробке лежит 20 кг ореховой смеси, состоящей на 50 % из арахиса, 20 % из кешью и 30 % миндаля. В эту коробку досыпали некоторое количество другой смеси (20 % арахиса, 40 — кешью, 40 — миндаля) так, что в итоге в коробке оказалось 40 % арахиса. А сколько килограммов кешью теперь там?

Ответ: 8

Задание 2.2

В коробке лежит 10 кг ореховой смеси, состоящей на 50 % из арахиса, 20 % из кешью и 30 % миндаля. В эту коробку досыпали некоторое количество другой смеси (20 % арахиса, 40 — кешью, 40 — миндаля) так, что в итоге в коробке оказалось 30 % арахиса. А сколько килограммов кешью теперь там?

Ответ: 10

Задание 2.3

В коробке лежит 20 кг ореховой смеси, состоящей на 50 % из арахиса, 20 % из кешью и 30 % миндаля. В эту коробку досыпали некоторое количество другой смеси (20 % арахиса, 40 — кешью, 40 — миндаля) так, что в итоге в коробке оказалось 30 % арахиса. А сколько килограммов кешью теперь там?

Ответ: 20

Задание 2.4

В коробке лежит 10 кг ореховой смеси, состоящей на 50 % из арахиса, 20 % из кешью и 30 % миндаля. В эту коробку досыпали некоторое количество другой смеси (20 % арахиса, 40 — кешью, 40 — миндаля) так, что в итоге в коробке оказалось 40 % арахиса. А сколько килограммов кешью теперь там?

Ответ: 4

Задание 3

Имеется прямоугольный кирпич объёмом 182 см³, у которого высота, длина и ширина выражаются целым количеством сантиметров. Чему равна минимальная возможная суммарная длина всех двенадцати его рёбер? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 88

Задание 3.2

Имеется прямоугольный кирпич объёмом 273 см³, у которого высота, длина и ширина выражаются целым количеством сантиметров. Чему равна минимальная возможная суммарная длина всех двенадцати его рёбер? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 92

Задание 3.3

Имеется прямоугольный кирпич объёмом 286 см³, у которого высота, длина и ширина выражаются целым количеством сантиметров. Чему равна минимальная возможная суммарная длина всех двенадцати его рёбер? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 104

Задание 3.4

Имеется прямоугольный кирпич объёмом 429 см³, у которого высота, длина и ширина выражаются целым количеством сантиметров. Чему равна минимальная возможная суммарная длина всех двенадцати его рёбер? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 108

Задание 4

Антон, Борис, Вадим и Геннадий стоят в ряд в каком-то порядке. Каждый из них специализируется на одной науке: физике, математике, химии и биологии.

Известно, что:

• биолог стоит рядом с химиком;
• правее математика стоит только Борис;
• Геннадий находится правее Антона;
• Антон стоит между химиком и кем-то ещё.

Определите специальности каждого из этих людей.

Имена: Вадим, Геннадий, Антон, Борис

Специальности: Химик, Физик, Математик, Биолог

Ответ: Антон — Биолог; Борис — Физик; Вадим — Химик; Геннадий — Математик

Задание 4.2

Антон, Борис, Вадим и Геннадий стоят в ряд в каком-то порядке. Каждый из них специализируется на одном виде спорта: футболе, волейболе, баскетболе и гандболе.

Известно, что:

• Антон находится левее Геннадия;
• баскетболист стоит рядом с гандболистом;
• правее волейболиста находится только Борис;
• Антон стоит между баскетболистом и кем-то ещё.

Определите специальности каждого из этих людей.

Имена: Геннадий, Борис, Антон, Вадим

Специальности: Гандбол, Волейбол, Баскетбол, Футбол

Ответ: Антон — Гандбол; Борис — Футбол; Вадим — Баскетбол; Геннадий — Волейбол

Задание 4.3

Антон, Борис, Вадим и Геннадий стоят в ряд в каком-то порядке. Каждый из них ведёт в школе один из предметов: географию, историю, астрономию и физкультуру.

Известно, что:

• правее географа стоит только Борис;
• историк находится рядом с астрономом;
• Антон стоит между астрономом и кем-то ещё;
• Геннадий находится правее Антона.

Определите специальности каждого из этих людей.

Имена: Геннадий, Антон, Борис, Вадим

Специальности: Астрономия, География, История, Физкультура

Ответ: Антон — История; Борис — Физкультура; Вадим — Астрономия; Геннадий — География

Задание 4.4

Антон, Борис, Вадим и Геннадий стоят в ряд в каком-то порядке. Каждый из них специализируется на одном виде искусства: скульптуре, живописи, архитектуре и фотографии.

Известно, что:

• правее скульптора стоит только Борис;
• Геннадий находится правее Антона;
• архитектор стоит рядом с фотографом;
• Антон стоит между фотографом и кем-то ещё.

Определите специальности каждого из этих людей.

Имена: Борис, Геннадий, Антон, Вадим

Специальности: Скульптура, Архитектура, Живопись, Фотография

Ответ: Антон — Архитектура; Борис — Живопись; Вадим — Фотография; Геннадий — Скульптура

Задание 5

Алёна поехала на электросамокате из дома на работу. В 8:00, будучи в 3 км от дома, она села в попутный автобус и вышла на остановке, находящейся в 1 км от работы. Оставшийся путь Алёна проехала на таком же электросамокате и оказалась на работе в 12:00. Сколько времени потребуется Алёне на обратный путь на электросамокате с работы домой, если известно, что на нём она едет в четыре раза медленнее, чем на автобусе? Ответ выразите в часах.

Ответ: 16

Задание 5.2

Алёна поехала на электросамокате из дома на работу. В 7:00, будучи в 4 км от дома, она села в попутный автобус и вышла на остановке, находящейся в 1 км от работы. Оставшийся путь Алёна проехала на таком же электросамокате и оказалась на работе в 11:00. Сколько времени потребуется Алёне на обратный путь на электросамокате с работы домой, если известно, что на нём она едет в пять раз медленнее, чем на автобусе? Ответ выразите в часах.

Ответ: 20

Задание 5.3

Алёна поехала на электросамокате из дома на работу. В 12:00, будучи в 2 км от дома, она села в попутный автобус и вышла на остановке, находящейся в 1 км от работы. Оставшийся путь Алёна проехала на таком же электросамокате и оказалась на работе в 14:00. Сколько времени потребуется Алёне на обратный путь на электросамокате с работы домой, если известно, что на нём она едет втрое медленнее, чем на автобусе? Ответ выразите в часах.

Ответ: 6

Задание 5.4

Алёна поехала на электросамокате из дома на работу. В 9:00, будучи в 5 км от дома, она села в попутный автобус и вышла на остановке, находящейся в 1 км от работы. Оставшийся путь Алёна проехала на таком же электросамокате и оказалась на работе в 12:00. Сколько времени потребуется Алёне на обратный путь на электросамокате с работы домой, если известно, что на нём она едет в шесть раз медленнее, чем на автобусе? Ответ выразите в часах.

Ответ: 18

Задание 6

На плоскости нарисованы девятиугольник и прямая, которая делит его на части. Оказалось, что одна из этих частей имеет ровно k сторон. Чему может быть равно k? Выберите все подходящие варианты:

• 3
• 9
• 12
• 13
• 14
• 16

Ответ: 3; 9; 12; 13

Задание 6.2

На плоскости нарисованы семиугольник и прямая, которая делит его на части. Оказалось, что одна из этих частей имеет ровно k сторон. Чему может быть равно k? Выберите все подходящие варианты:

• 3
• 7
• 9
• 10
• 11
• 14

Ответ: 3; 7; 9; 10

Задание 6.3

На плоскости нарисованы десятиугольник и прямая, которая делит его на части. Оказалось, что одна из этих частей имеет ровно k сторон. Чему может быть равно k? Выберите все подходящие варианты:

• 3
• 10
• 14
• 15
• 16
• 18

Ответ: 3; 10; 14; 15

Задание 6.4

На плоскости нарисованы восьмиугольник и прямая, которая делит его на части. Оказалось, что одна из этих частей имеет ровно k сторон. Чему может быть равно k? Выберите все подходящие варианты:

• 3
• 8
• 11
• 12
• 13
• 15

Ответ: 3; 8; 11; 12

Задание 7

Евгений выбрал 22 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Евгений выбрал 23 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Евгений выбрал 24 любимые буквы русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Евгений выбрал 26 любимых букв русского языка и принялся составлять из них палиндромы, то есть слова (не обязательно осмысленные), которые одинаково читаются слева направо и справа налево (например, ЪУРРУЪ и БЯБ являются палиндромами, а ЭХЭХХХ и ОР — нет). Используя только свои любимые буквы, Евгений выписал все палиндромы длиной не более шести букв, в которых присутствует буквосочетание АБ (буквы А и Б входят в число любимых). Сколько всего палиндромов у него получилось?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Алиса написала на доске четырёхзначное число A, не содержащее нулей в своей записи. Валя затем стёрла первую цифру числа A и дописала её же в конец, получив новое четырёхзначное число B. Света после этого так же перенесла первую цифру в конец, получив число C. Завершила это Даша, превратив таким же образом число на доске в число D. Оказалось, что B + C + D = 14406. Чему могло быть равно A? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Алиса написала на доске четырёхзначное число A, не содержащее нулей в своей записи. Валя затем стёрла первую цифру числа A и дописала её же в конец, получив новое четырёхзначное число B. Света после этого так же перенесла первую цифру в конец, получив число C. Завершила это Даша, превратив таким же образом число на доске в число D. Оказалось, что B + C + D = 16638. Чему могло быть равно A? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Алиса написала на доске четырёхзначное число A, не содержащее нулей в своей записи. Валя затем стёрла первую цифру числа A и дописала её же в конец, получив новое четырёхзначное число B. Света после этого так же перенесла первую цифру в конец, получив число C. Завершила это Даша, превратив таким же образом число на доске в число D. Оказалось, что B + C + D = 15528. Чему могло быть равно A? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Алиса написала на доске четырёхзначное число A, не содержащее нулей в своей записи. Валя затем стёрла первую цифру числа A и дописала её же в конец, получив новое четырёхзначное число B. Света после этого так же перенесла первую цифру в конец, получив число C. Завершила это Даша, превратив таким же образом число на доске в число D. Оказалось, что B + C + D = 15516. Чему могло быть равно A? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

8 класс

На доске было записано число. К нему прибавили 9, из него вычли 9, его умножили на 9, его разделили на 9 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 15. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 9, а на 5?

Ответ: 9,72

Задание 1.2

На доске было записано число. К нему прибавили 5, из него вычли 5, его умножили на 5, его разделили на 5 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 40. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 5, а на 8?

Ответ: 56,25

Задание 1.3

На доске было записано число. К нему прибавили 7, из него вычли 7, его умножили на 7, его разделили на 7 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 60. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 7, а на 5?

Ответ: 47,25

Задание 1.4

На доске было записано число. К нему прибавили 9, из него вычли 9, его умножили на 9, его разделили на 9 — каждая из этих операций производилась с исходным числом (независимо). Получили четыре числа, сумма которых равна 12. Сколько получили бы, если бы прибавляли, вычитали, умножали и делили не на 9, а на 3?

Ответ: 5,76

Задание 2

У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 70 граммов. Самая тяжёлая гиря на 25 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 7560

Задание 2.2

У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 60 граммов. Самая тяжёлая гиря на 20 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 7920

Задание 2.3

У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 80 граммов. Самая тяжёлая гиря на 40 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 5760

Задание 2.4

У купца Никодима четыре гири, одна из которых лежала в мешке. Он добавлял эти гири в мешок по одной, при этом средняя масса гирь в мешке каждый раз увеличивалась на 60 граммов. Самая тяжёлая гиря на 30 % тяжелее самой лёгкой. Сколько все гири весят в сумме? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 5520

Задание 3

Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 8 участников, то 7 конфет останется. А если поровну раздавать на 27 участников, то 2 конфеты останется. Верны ли утверждения?

Утверждения:

• Если убрать из мешка 17 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 29 участникам
• Если добавить в мешок 1 конфету, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 6 участникам
• Найдётся такое количество конфет от 5 до 25, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 36 участникам
• Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 9 участникам
• Если добавить в мешок 13 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 12 участникам

Варианты:

• Верно при любом таком количестве конфет
• Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
• Неверно при любом таком количестве конфет

Ответ: Верно при любом таком количестве конфет — добавить 1 конфету и раздать 6 участникам; забрать от 5 до 25 конфет и раздать 36 участникам; добавить 13 конфет и раздать 12 участникам. Неверно при любом таком количестве конфет — раздать 9 участникам без остатка. Может быть как верным, так и неверным — убрать 17 конфет и раздать 29 участникам.

Задание 3.2

Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 9 участников, то 8 конфет останется. А если поровну раздавать на 20 участников, то 12 конфет останется. Верны ли утверждения?

Утверждения:

• Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 6 участникам
• Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 4 участникам
• Если убрать из мешка 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 12 участникам
• Найдётся такое количество конфет от 10 до 30, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 30 участникам
• Если добавить в мешок 30 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 13 участникам

Варианты:

• Верно при любом таком количестве конфет
• Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
• Неверно при любом таком количестве конфет

Ответ: Верно при любом таком количестве конфет — добавить 10 конфет и раздать 6 участникам; раздать 4 участникам без остатка. Неверно при любом таком количестве конфет — убрать 10 конфет и раздать 12 участникам; забрать от 10 до 30 конфет и раздать 30 участникам. Может быть как верным, так и неверным — добавить 30 конфет и раздать 13 участникам.

Задание 3.3

Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 12 участников, то 9 конфет останется. А если поровну раздавать на 25 участников, то 15 конфет останется. Верны ли утверждения?

Утверждения:

• Если добавить в мешок 100 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 75 участникам
• Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 7 участникам
• Найдётся такое количество конфет от 20 до 40, что если их добавить, то станет возможно поровну (и без остатка) раздать их 30 участникам
• Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 15 участникам
• Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 11 участникам

Варианты:

• Верно при любом таком количестве конфет
• Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
• Неверно при любом таком количестве конфет

Ответ: Верно при любом таком количестве конфет — раздать 15 участникам без остатка. Неверно при любом таком количестве конфет — добавить 100 конфет и раздать 75 участникам; добавить от 20 до 40 конфет и раздать 30 участникам. Может быть как верным, так и неверным — добавить 10 конфет и раздать 7 участникам; раздать 11 участникам без остатка.

Задание 3.4

Купили мешок конфет, чтобы раздать участникам олимпиады. Если конфеты поровну раздавать на 8 участников, то 7 конфет останется. А если поровну раздавать на 21 участника, то 4 конфеты останется. Верны ли утверждения?

Утверждения:

• Если убрать из мешка 6 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 5 участникам
• Если добавить в мешок 10 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 7 участникам
• Найдётся такое количество конфет от 25 до 45, что если их забрать, то остальные можно поровну (и без остатка) раздать 56 участникам
• Конфеты можно поровну (и без остатка) раздать 3 участникам
• Если добавить в мешок 17 конфет, то можно поровну (и без остатка) раздать конфеты 24 участникам

Варианты:

• Верно при любом таком количестве конфет
• Может быть как верным, так и неверным в зависимости от конкретного количества конфет в мешке (но при соблюдении условия задачи)
• Неверно при любом таком количестве конфет

Ответ: Верно при любом таком количестве конфет — добавить 10 конфет и раздать 7 участникам; забрать от 25 до 45 конфет и раздать 56 участникам; добавить 17 конфет и раздать 24 участникам. Неверно при любом таком количестве конфет — раздать 3 участникам без остатка. Может быть как верным, так и неверным — убрать 6 конфет и раздать 5 участникам.

Задание 4

На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и ∠ABD = 27°.

Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 15

Задание 4.2

На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и ∠ABD = 33°.

Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 5

Задание 4.3

На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и ∠ABD = 12°.

Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 40

Задание 4.4

На сторонах треугольника ABC отмечены точки D и E, а также обозначены равные углы, как на рисунке. Известно, что BC = CD, AD = EC и ∠ABD = 24°.

Найдите угол между прямыми AB и ED. Ответ выразите в градусах.

Ответ: 20

Задание 5

Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 44 − 2a. Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 8; 14; 44

Задание 5.2

Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 74 − 2a. Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 14; 24; 74

Задание 5.3

Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 44 + 4a. Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 10; 14; 26

Задание 5.4

Про натуральные числа a и b известно, что a² − b² = 74 + 2a. Найдите все возможные значения суммы a + b. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 16; 26; 76

Задание 6

Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 78 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?

Ответ: 28

Задание 6.2

Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 66 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?

Ответ: 24

Задание 6.3

Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 57 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?

Ответ: 21

Задание 6.4

Аня и Боря придумали свой язык. В его алфавите несколько букв, а любая последовательность из 5 написанных букв, которая одинаково читается слева направо и справа налево, называется словом (например, ШАЛАШ — это слово, а ААЛШШ — нет). Аня записала все слова, в которых есть сочетание букв АБ, а Боря записал все слова, в которых есть сочетание букв АБА. Оказалось, что у Ани записано на 87 слов больше, чем у Бори. Сколько слов записал Боря?

Ответ: 31

Задание 7

Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, ∠ABP = 78°, ∠DCP = 65°.

Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, ∠ABP = 75°, ∠DCP = 67°.

Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, ∠ABP = 72°, ∠DCP = 61°.

Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Прямоугольные треугольники APB и DPC расположены так, как показано на рисунке, причём AB и CD равны и параллельны, ∠ABP = 77°, ∠DCP = 63°.

Найдите величины всех тупых углов четырёхугольника APCD. Ответы выразите в градусах. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Есть клетчатая доска размером 12 × 12 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Есть клетчатая доска размером 14 × 14 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Есть клетчатая доска размером 11 × 11 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Есть клетчатая доска размером 13 × 13 клеток, изначально белая. Назовём стикером квадрат размером 2 × 2 клетки, две противоположные угловые клетки которого чёрные, а две другие — белые. На доску наклеивают несколько стикеров (по линиям клеток) — стикеры могут перекрываться, при этом клетки, накрытые другим стикером, оказываются не видны. Какое наибольшее количество чёрных клеток может оказаться на доске?

Ответ: Посмотреть ответ

9 класс

В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1200 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 22 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 9 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.

Ответ: 1400

Задание 1.2

В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1500 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 43 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 5 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.

Ответ: 2500

Задание 1.3

В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1200 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 32 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 15 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.

Ответ: 1500

Задание 1.4

В июне прокат сапогов-скороходов стоил 1500 рублей за одну пару. В июле компанию оштрафовали, и она подняла стоимость проката. В результате количество пар сапогов-скороходов, выданных за месяц, сократилось на 45 %, а общая выручка за месяц сервиса упала на 12 %. Сколько стал стоить прокат одной пары в июле, если стоимость пары оставалась постоянной в течение июля и никаких других услуг, кроме проката сапогов-скороходов, компания не оказывала? Ответ выразите в рублях.

Ответ: 2400

Задание 2

К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен ∠ACB, если ∠BAC = 26°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 102

Задание 2.2

К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен ∠ACB, если ∠BAC = 28°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 96

Задание 2.3

К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен ∠ACB, если ∠BAC = 37°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 69

Задание 2.4

К стороне AC треугольника ABC провели серединный перпендикуляр, который пересекает сторону AB в точке D. Оказалось, что AD = BC. Чему равен ∠ACB, если ∠BAC = 32°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 84

Задание 3

На доске записаны все натуральные числа от 19 до 404 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 5. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 4. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 11624

Задание 3.2

На доске записаны все натуральные числа от 18 до 333 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 4. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 3. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 7938

Задание 3.3

На доске записаны все натуральные числа от 16 до 401 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 2. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 4. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 11456

Задание 3.4

На доске записаны все натуральные числа от 17 до 332 включительно, которые при делении на 7 дают остаток 3. Каждую минуту Тарзан стирает два числа из этого ряда и вместо них записывает их сумму, уменьшенную на 3. Через некоторое время на доске остаётся одно число. Какое число может оказаться записанным на доске в самом конце? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 7892

Задание 4

Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева.

Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 45. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?

Ответ: 27

Задание 4.2

Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева.

Рисунок к №4.2

Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 47. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?

Ответ: 21

Задание 4.3

Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева.

Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 43. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?

Ответ: 33

Задание 4.4

Большой треугольник разделили на девять маленьких треугольников, как показано на рисунке. Назовём линией пять треугольников, прилежащих к одной стороне, например, как на рисунке слева.

Всего таких линий три. В треугольнике расставили все нечётные числа от 1 до 17. Оказалось, сумма чисел в каждой из трёх линий равна 39. Чему равна сумма чисел в трёх треугольниках, выделенных на рисунке справа?

Ответ: 45

Задание 5

От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в 3,5 раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в два раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через час после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку час, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:

• Шапочке идти по короткой дороге менее 20 минут
• Шапочке идти по короткой дороге более 20 минут
• Шапочке идти по короткой дороге более 40 минут
• Шапочке идти по короткой дороге менее 40 минут
• Шапочке идти по короткой дороге более часа
• Шапочке идти по короткой дороге менее часа

Ответ: более 20 минут; более 40 минут; менее часа

Задание 5.2

От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в 2,5 раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в два раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через 20 минут после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку 20 минут, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:

• Шапочке идти по короткой дороге более 20 минут
• Шапочке идти по короткой дороге менее часа
• Шапочке идти по короткой дороге более 40 минут
• Шапочке идти по короткой дороге менее 20 минут
• Шапочке идти по короткой дороге менее 40 минут
• Шапочке идти по короткой дороге более часа

Ответ: более 20 минут; менее 40 минут; менее часа

Задание 5.3

От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в 3,5 раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в два раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через 45 минут после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку 45 минут, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:

• Шапочке идти по короткой дороге менее часа
• Шапочке идти по короткой дороге менее 45 минут
• Шапочке идти по короткой дороге более часа
• Шапочке идти по короткой дороге более 45 минут
• Шапочке идти по короткой дороге менее получаса
• Шапочке идти по короткой дороге более получаса

Ответ: более получаса; менее 45 минут; менее часа

Задание 5.4

От дома Красной Шапочки до бабушки есть две дороги — короткая и длинная, которая в три раза длиннее короткой. Красная Шапочка всегда ходит по длинной дороге, а Волк — всегда по короткой. Скорость Волка в три раза больше скорости Шапочки. Однажды Красная Шапочка вышла из дома и отправилась к бабушке. Волк караулил Шапочку у её домика, но прозевал, только через час после её выхода обнаружив, что Шапочка ушла. Он тут же бросился бежать к бабушке. Добежав, он ждал Шапочку час, но не дождался и побежал снова к домику Шапочки, не обнаружил её там, мгновенно развернулся и опять побежал к бабушке. За это время Красная Шапочка побывала у бабушки, отдала ей пирожки и к моменту, когда Волк во второй раз прибежал к бабушке, уже ушла. Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:

• Шапочке идти по короткой дороге более часа
• Шапочке идти по короткой дороге более получаса
• Шапочке идти по короткой дороге менее 45 минут
• Шапочке идти по короткой дороге более 45 минут
• Шапочке идти по короткой дороге менее получаса
• Шапочке идти по короткой дороге менее часа

Ответ: более получаса; более 45 минут; менее часа

Задание 6

В строку записаны 26 натуральных чисел. Известно, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 9, а сумма всех чисел равна 40. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

В строку записаны 27 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

В строку записаны 32 натуральных числа. Известно, что сумма любых шести подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

В строку записаны 37 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 9, а сумма всех чисел равна 67. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами √3 и 1 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O₁A, которая пересекла окружность ω₂ в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O₁O₂ и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O₁ и O₂.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 4√3 и 4 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O₁A, которая пересекла окружность ω₂ в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O₁O₂ и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O₁ и O₂.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 2√3 и 2 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O₁A, которая пересекла окружность ω₂ в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O₁O₂ и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O₁ и O₂.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Две окружности ω₁ и ω₂ с центрами O₁ и O₂ и радиусами 3√3 и 3 соответственно пересекаются в двух точках A и B. Через точку B провели прямую, параллельную O₁A, которая пересекла окружность ω₂ в точке C. Оказалось, что точка C лежит на прямой O₁O₂ и угол ACB равен 60°. Найдите расстояние между точками O₁ и O₂.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 6x + 24.

Чему равно f(−4)?

Известно, что f(0) = −12. Чему равно f(12)?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 20x + 40.

Чему равно f(−2)?

Известно, что f(0) = −10. Чему равно f(30)?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 12x + 36.

Чему равно f(−3)?

Известно, что f(0) = −12. Чему равно f(24)?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Функция f, определённая на всех действительных числах, такова, что для каждого x выполняется f(f(x)) = f(x) + 30x + 30.

Чему равно f(−1)?

Известно, что f(0) = −6. Чему равно f(24)?

Ответ: Посмотреть ответ

10 класс

Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 748, 391, 562?

Ответ: 756483921

Задание 1.2

Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 819, 427, 653?

Ответ: 865432719

Задание 1.3

Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 347, 519, 826?

Ответ: 853472619

Задание 1.4

Из трёхзначного числа 123 путём вычёркивания цифр можно получить двузначные числа: 12, 13 и 23, а 31 нельзя. Из какого наибольшего девятизначного числа можно вычёркиванием цифр получить следующие трёхзначные числа: 216, 735, 498?

Ответ: 749835216

Задание 2

Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(13b − 1). Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?

Ответ: 42

Задание 2.2

Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(11b − 1). Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?

Ответ: 30

Задание 2.3

Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(9b − 1). Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?

Ответ: 20

Задание 2.4

Числа a и b обратны натуральным (то есть имеют вид 1/N). Известно, что a = b/(7b − 1). Какое максимальное значение может принять 1/(ab)?

Ответ: 12

Задание 3

На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 36 островитян. Их рассадили за три стола, по двенадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди одиннадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.

Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Ответ: 7; 29

Задание 3.2

На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 24 островитянина. Их рассадили за три стола, по восемь человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди семи твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.

Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Ответ: 5; 19

Задание 3.3

На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 42 островитянина. Их рассадили за три стола, по четырнадцать человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди тринадцати твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.

Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Ответ: 8; 34

Задание 3.4

На острове Рыцарей и Лжецов есть правило: рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. На банкет пригласили 30 островитян. Их рассадили за три стола, по десять человек за каждым. Затем каждого спросили: «Кого больше среди девяти твоих соседей по столу, рыцарей или лжецов»? За первым столом все сказали, что больше рыцарей. За вторым столом все сказали, что больше лжецов. За третьим столом были оба варианта ответа, и «больше рыцарей», и «больше лжецов», других ответов не было.

Определите минимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Определите максимальное возможное число лжецов среди сидящих за столами.

Ответ: 6; 24

Задание 4

Про функцию f известно, что для всех действительных x

2f(x + 6) + f(4) = x + 8.

Чему равно f(24)?

Ответ: 12

Задание 4.2

Про функцию f известно, что для всех действительных x

4f(x + 1) + f(3) = x + 8.

Чему равно f(11)?

Ответ: 4

Задание 4.3

Про функцию f известно, что для всех действительных x

3f(x + 2) + f(7) = x + 11.

Чему равно f(4)?

Ответ: 3

Задание 4.4

Про функцию f известно, что для всех действительных x

5f(x + 7) + f(2) = x + 11.

Чему равно f(67)?

Ответ: 14

Задание 5

Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {2, 5, 6, 7, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?

Наименьшая степень:

Наибольшая степень:

Ответ: 7; 48

Задание 5.2

Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {3, 4, 5, 6, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?

Наименьшая степень:

Наибольшая степень:

Ответ: 8; 35

Задание 5.3

Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {3, 4, 6, 7, 8}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?

Наименьшая степень:

Наибольшая степень:

Ответ: 7; 41

Задание 5.4

Числа {a, b, c, d, e} — это переставленная пятёрка чисел {2, 3, 5, 6, 9}. Многочлен степени a разделили без остатка на многочлен степени b, затем возвели в степень c, умножили на многочлен степени d, и прибавили многочлен степени e. Многочлен какой наименьшей и наибольшей степени мог в итоге получиться?

Наименьшая степень:

Наибольшая степень:

Ответ: 9; 47

Задание 6

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠CAD = 2∠ADB, ∠ACD = 5∠BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠CAD = 5∠ADB, ∠ACD = 11∠BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠CAD = 4∠ADB, ∠ACD = 9∠BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠CAD = 3∠ADB, ∠ACD = 7∠BAC. На окружности взяли точки E и F, такие что BE параллельно CD, CF параллельно AB. Найдите угол между прямыми DF и BE. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника, как показано на примере с десятиугольником.

В каждой грани бочонка с 12-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)? Пример такой ломаной отмечен зелёным цветом.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника, как показано на примере с десятиугольником.

Рисунок к №7.2

В каждой грани бочонка с 8-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)? Пример такой ломаной отмечен зелёным цветом.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника, как показано на примере с десятиугольником.

Рисунок к №7.3

В каждой грани бочонка с 14-угольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)? Пример такой ломаной отмечен зелёным цветом.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Бочонок — это пространственное тело, образованное тремя правильными многоугольниками, лежащими один над другим. Бочонок имеет одинаковые верхнюю и нижнюю грани — правильные многоугольники, и боковые грани в виде трапеций, так что одно основание каждой трапеции является ребром верхней или нижней грани, а другое является стороной среднего многоугольника, как показано на рисунке.

Рисунок к №7.4

В каждой грани бочонка с десятиугольниками в основании провели ровно одну из диагоналей. Какое максимальное число звеньев может иметь образованная этими диагоналями ломаная, не проходящая через одну и ту же точку дважды (ломаная может оказаться замкнутой, и тогда совпадение начала и конца не считается повторным прохождением точки)? Пример такой ломаной отмечен зелёным цветом.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

У эксперта есть m монет весом 3 граммов, n монет весом 4 граммов и k монет весом 5 граммов. Все три числа m, n, k больше 0 и не больше 7. Судья это знает, ему также известны числа m, n и k, но он не знает, где какая монета, и видит только m + n + k неразличимых монет. Например, если m = 4, n = 6, k = 7, то судья видит 17 одинаковых монет и знает, что среди них ровно четыре весом 3 грамма, ровно шесть весом 4 грамма и ровно семь весом 5 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из m + n + k монет. При каких m это возможно — т. е. для этого значения m существуют соответствующие условию n и k? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

У эксперта есть m монет весом 7 граммов, n монет весом 8 граммов и k монет весом 9 граммов. Все три числа m, n, k больше 0 и не больше 10. Судья это знает, ему также известны числа m, n и k, но он не знает, где какая монета, и видит только m + n + k неразличимых монет. Например, если m = 3, n = 6, k = 9, то судья видит 18 одинаковых монет и знает, что среди них ровно три весом 7 граммов, ровно шесть весом 8 граммов и ровно девять весом 9 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из m + n + k монет. При каких m это возможно — т. е. для этого значения m существуют соответствующие условию n и k? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

У эксперта есть m монет весом 5 граммов, n монет весом 6 граммов и k монет весом 7 граммов. Все три числа m, n, k больше 0 и не больше 10. Судья это знает, ему также известны числа m, n и k, но он не знает, где какая монета, и видит только m + n + k неразличимых монет. Например, если m = 3, n = 6, k = 9, то судья видит 18 одинаковых монет и знает, что среди них ровно три весом 5 граммов, ровно шесть весом 6 граммов и ровно девять весом 7 граммов, но не знает, где какая монета. Эксперт смог, сделав только одно взвешивание на чашечных весах без гирь (на чашу весов помещается любое количество монет), однозначно продемонстрировать судье вес каждой из m + n + k монет. При каких m это возможно — т. е. для этого значения m существуют соответствующие условию n и k? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Если это невозможно, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 11 класс Сириус школьный этап 2026

На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 16 минут (в 12:16). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 44; 136

Задание 1.2

На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 8 минут (в 12:08). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 22; 158

Задание 1.3

На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 12 минут (в 12:12). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 33; 147

Задание 1.4

На исправных часах установили неправильное время и запустили их. В полдень (в 12:00) угол между часовой и минутной стрелкой оказался таким же, как через 4 минуты (в 12:04). Каким мог бы быть этот угол в градусах? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 11; 169

Задание 2

Пусть (a₁, a₂, …, a₃₀) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 32: (3, 4, 5, …, 32). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₃₁(a₃₀)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 5

Задание 2.2

Пусть (a₁, a₂, …, a₆₂) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 64: (3, 4, 5, …, 64). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₆₃(a₆₂)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 6

Задание 2.3

Пусть (a₁, a₂, …, a₂₄) — некоторая перестановка целых чисел от 4 до 27: (4, 5, …, 27). Какие значения может принимать выражение log₃(a₁) · log₄(a₂) · … · log₂₆(a₂₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3

Задание 2.4

Пусть (a₁, a₂, …, a₁₄) — некоторая перестановка целых чисел от 3 до 16: (3, 4, 5, …, 16). Какие значения может принимать выражение log₂(a₁) · log₃(a₂) · … · log₁₅(a₁₄)? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 4

Задание 3

Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?

x^x = 13^(y²)

Ответ: 338

Задание 3.2

Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?

x^x = 19^(y²)

Ответ: 722

Задание 3.3

Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?

x^x = 11^(y²)

Ответ: 242

Задание 3.4

Для какого наименьшего натурального y данное уравнение имеет решение в целых числах?

x^x = 17^(y²)

Ответ: 578

Задание 4

В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.

Ответ: 18432

Задание 4.2

В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя и Артём, наоборот, категорически не хотят держаться за руки. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.

Ответ: 648

Задание 4.3

В кружке занимаются 12 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять рядом с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.

Ответ: 23040

Задание 4.4

В кружке занимаются 10 детей, поровну мальчиков и девочек, у всех имена разные. Для хоровода им надо встать в круг, чтобы мальчики и девочки чередовались. Маша и Лёва непременно хотят стоять рядом, а Настя, наоборот, категорически не хочет стоять с Лёвой. Сколько существует способов расставить детей? Расстановки, получающиеся поворотом круга, считаем одинаковыми, а получающиеся отражением круга — разными.

Ответ: 864

Задание 5

В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 76°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 83

Задание 5.2

В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 62°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 76

Задание 5.3

В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 74°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 82

Задание 5.4

В прямоугольном треугольнике ABC вписанная окружность касается гипотенузы AB в точке K, а катетов BC и AC — в точках M и P соответственно. H — основание перпендикуляра из точки K на CB, E — основание перпендикуляра из точки M на KP. Чему равен угол между прямыми EH и MK, если ∠ABC = 66°? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 78

Задание 6

По кругу стоят 22 дерева. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 21 дерево по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.

На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

По кругу стоят 26 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 25 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.

На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

По кругу стоят 14 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 13 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.

На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

По кругу стоят 18 деревьев. На каждом сидит по одной птице. В какой-то момент птицы взлетели и переместились на 0, 1, 2, … 17 деревьев по часовой стрелке, то есть одна осталась на месте, ещё одна (не обязательно с дерева рядом) — сместилась на соседнее и т. д.

На каком минимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

На каком максимальном количестве деревьев теперь могут расположиться птицы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Вначале у Вани и Ани было по числу 35 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 36 (Аня) и 70 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Вначале у Вани и Ани было по числу 25 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 26 (Аня) и 50 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Вначале у Вани и Ани было по числу 28 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 29 (Аня) и 56 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Вначале у Вани и Ани было по числу 32 и по прибору с двумя кнопками. Нажатие первой кнопки прибавляет к имеющемуся числу 1, а нажатие второй кнопки умножает имеющееся число на 2. Дети делают ходы одновременно. Первым ходом они нажали на разные кнопки и получили числа 33 (Аня) и 64 (Ваня). Затем у обоих настроили кнопку умножения так, что ею можно воспользоваться с этого момента не более одного раза. Смогут ли Аня и Ваня сделать свои числа снова равными? Если смогут, то какое наименьшее число может получиться? Если не смогут, в ответ запишите 0.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,1. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,4. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,2. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

В куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 2 помещён цилиндр Ц₁ с образующей, параллельной AD, и радиусом основания R = 0,3. Ц₁ касается граней AA₁D₁D и A₁B₁C₁D₁. Помещённый в куб цилиндр Ц₂ с образующей, параллельной BB₁, касается цилиндра Ц₁ в точке M, а также граней AA₁B₁B и BB₁C₁C. Помещённый в куб цилиндр Ц₃ с образующей, параллельной AB, касается Ц₂ в точке K, а также граней ABCD и DD₁C₁C. Найдите квадрат длины отрезка MK. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Ответ: Посмотреть ответ

Олимпиада Сириус по математике 3-4 группа регионов 16 октября 2026:

Астраханская область 50. Курганская область 51. Омская область 52. Оренбургская область 53. Пермский край 54. Республика Башкортостан 55. Самарская область 56. Саратовская область 57. Свердловская область 58. Тюменская область 59. Удмуртская Республика 60. Ульяновская область 61. Ханты-Мансийский автономный округ — Югра 62. Челябинская область 63. Ямало-Ненецкий автономный округ

Алтайский край 65. Амурская область 66. Еврейская автономная область 67. Забайкальский край 68. Иркутская область 69. Камчатский край 70. Кемеровская область — Кузбасс 71. Красноярский край 72. Магаданская область 73. Новосибирская область 74. Приморский край 75. Республика Алтай 76. Республика Бурятия 77. Республика Саха (Якутия) 78. Республика Тыва 79. Республика Хакасия 80. Сахалинская область 81. Томская область 82. Хабаровский край 83. Чукотский автономный округ

Смотрите также на сайте олимпиады:

Олимпиада по физике «Сириус» 30 сентября 2025: задания и ответы для 7-11 классов школьный этап