13 октября 2026 Сириус ответы и задания для олимпиады по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс школьный этап

Сириус по математике 4-11 класс готовые ответы и задания 1-2 группа школьный этап 13.10.2026. Бесплатные правильные ответы и решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класса олимпиада по математике школьный этап 2026 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для регионов Сириус дата проведения 13 октября онлайн на сайте uts.sirius.online

4 класс

В вазе лежат пять фруктов:
Алиса любит:
Борис любит:
Виктор любит:
Гриша любит:
Даша любит:
Каждый взял фрукт, который ему нравится. Все взяли разные фрукты. Кому что досталось?
Алисе
Борису
Виктору
Грише
Даше

Ответ:

Задание 2

В хороводе стоят дети. Известно, что между Олегом и Полиной по часовой стрелке стоит 14 детей, между Полиной и Ромой — 13 детей, между Ромой и Соней — 10 детей, а между Соней и Олегом — 24 ребёнка. Известно, что по часовой стрелке они встречаются именно в таком порядке: Олег → Полина → Рома → Соня. Сколько всего детей в хороводе.

Ответ: 65

Задание 2.1

В хороводе стоят дети. Известно, что между Олей и Петей по часовой стрелке стоит 12 детей, между Петей и Русланом — 20 детей, между Русланом и Светой — 8 детей, а между Светой и Олей — 16 детей. Известно, что по часовой стрелке они встречаются именно в таком порядке: Оля → Петя → Руслан → Света. Сколько всего детей в хороводе?

Ответ: 60

Задание 2.3

В хороводе стоят дети. Известно, что между Аней и Борей по часовой стрелке стоит 25 детей, между Борей и Васей — 17 детей, между Васей и Галей — 4 ребёнка, а между Галей и Аней — 16 детей. Известно, что по часовой стрелке они встречаются именно в таком порядке: Аня → Боря → Вася → Галя. Сколько всего детей в хороводе?

Ответ: 66

Задание 2.4

В хороводе стоят дети. Известно, что между Ариной и Борисом по часовой стрелке стоит 13 детей, между Борисом и Василисой — 15 детей, между Василисой и Глебом — 11 детей, а между Глебом и Ариной — 19 детей. Известно, что по часовой стрелке они встречаются именно в таком порядке: Арина → Борис → Василиса → Глеб. Сколько всего детей в хороводе?

Ответ: 62

Задание 3

Дано число 501716904. В нём зачеркнули 5 цифр. Осталось четырёхзначное число, которое НЕ может начинаться с нуля.
Какое наибольшее число могло получиться?
Какое наименьшее число могло получиться?

Ответ: 7904, 1104

Задание 3.2

Дано число 702824715. В нём зачеркнули 5 цифр. Осталось четырёхзначное число, которое НЕ может начинаться с нуля.
Какое наибольшее число могло получиться?
Какое наименьшее число могло получиться?

Ответ: 8715, 2215

Задание 3.3

Дано число 602827903. В нём зачеркнули 5 цифр. Осталось четырёхзначное число, которое НЕ может начинаться с нуля.
Какое наибольшее число могло получиться?
Какое наименьшее число могло получиться?

Ответ: 8903, 2203

Задание 3.4

Дано число 701813926. В нём зачеркнули 5 цифр. Осталось четырёхзначное число, которое НЕ может начинаться с нуля.
Какое наибольшее число могло получиться?
Какое наименьшее число могло получиться?

Ответ: 8926, 1126

Задание 4

Архипелаг из семи островов соединён паромными переправами. Стоимость проезда на каждом пароме (в рублях) указана на схеме.
Переправа между соседними островами занимает 3 часа.
За какое наименьшее время можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Ответ выразите в часах.
За какую наименьшую сумму можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Проезд не обязательно должен занимать наименьшее время. Ответ выразите в рублях.

Ответ: 1)9, 2)1200

Задание 4.2

Архипелаг из семи островов соединён паромными переправами. Стоимость проезда на каждом пароме (в рублях) указана на схеме.
Переправа между соседними островами занимает 4 часа.
За какое наименьшее время можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Ответ выразите в часах.
За какую наименьшую сумму можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Проезд не обязательно должен занимать наименьшее время. Ответ выразите в рублях.

Ответ: 1-12, 2-1100

Задание 4.3

Архипелаг из семи островов соединён паромными переправами. Стоимость проезда на каждом пароме (в рублях) указана на схеме.
Переправа между соседними островами занимает 5 часов.
За какое наименьшее время можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Ответ выразите в часах.
За какую наименьшую сумму можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Проезд не обязательно должен занимать наименьшее время. Ответ выразите в рублях.

Ответ: 1-15, 2-1300

Задание 4.4

Архипелаг из семи островов соединён паромными переправами. Стоимость проезда на каждом пароме (в рублях) указана на схеме.
Переправа между соседними островами занимает 6 часов.
За какое наименьшее время можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Ответ выразите в часах.
За какую наименьшую сумму можно добраться от острова A до острова G, используя данную паромную сеть? Проезд не обязательно должен занимать наименьшее время. Ответ выразите в рублях.

Ответ: 1-18, 2-1000

Задание 5

У Ирины есть куб с цифрами от 1 до 6 на гранях. Так он выглядит с разных сторон: Заполните пропуски в развёртке этого куба.

Ответ:

Задание 6

Буратино закопал по монете в некоторые области Поля чудес. Наблюдательная Мальвина составила карту. В каждую область она записала число монет, закопанных в соседних областях. Две области считаются соседними, если у них есть общая граница. Получилась следующая карта:
Сколько монет закопал Буратино?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Буратино закопал по монете в некоторые области Поля чудес. Наблюдательная Мальвина составила карту. В каждую область она записала число монет, закопанных в соседних областях. Две области считаются соседними, если у них есть общая граница. Получилась следующая карта: Сколько монет закопал Буратино?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Буратино закопал по монете в некоторые области Поля чудес. Наблюдательная Мальвина составила карту. В каждую область она записала число монет, закопанных в соседних областях. Две области считаются соседними, если у них есть общая граница. Получилась следующая карта: Сколько монет закопал Буратино?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Буратино закопал по монете в некоторые области Поля чудес. Наблюдательная Мальвина составила карту. В каждую область она записала число монет, закопанных в соседних областях. Две области считаются соседними, если у них есть общая граница. Получилась следующая карта: Сколько монет закопал Буратино?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

В кинотеатре два зала с одинаковым количеством рядов. В каждом ряду хотя бы два кресла, и между каждой парой соседних кресел находятся два подстаканника. В первом зале всего 210 кресел, а количество подстаканников равно 360. Во втором зале установлено 300 подстаканников. Сколько кресел во втором зале?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

В кинотеатре два зала с одинаковым количеством рядов. В каждом ряду хотя бы два кресла, и между каждой парой соседних кресел находятся два подстаканника. В первом зале всего 120 кресел, а количество подстаканников равно 210. Во втором зале установлено 240 подстаканников. Сколько кресел во втором зале?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

В кинотеатре два зала с одинаковым количеством рядов. В каждом ряду хотя бы два кресла, и между каждой парой соседних кресел находятся два подстаканника. В первом зале всего 160 кресел, а количество подстаканников равно 280. Во втором зале установлено 240 подстаканников. Сколько кресел во втором зале?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

В кинотеатре два зала с одинаковым количеством рядов. В каждом ряду хотя бы два кресла, и между каждой парой соседних кресел находятся два подстаканника. В первом зале всего 150 кресел, а количество подстаканников равно 250. Во втором зале установлено 300 подстаканников. Сколько кресел во втором зале?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Поезд длиной 150 метров проезжает через первый мост за 50 секунд, а через второй мост — за 70 секунд. Второй мост на 300 метров длиннее первого. Чему равна длина первого моста? Время, за которое «поезд проезжает мост» — это время между тем, как на начало моста заехал паровоз (нос поезда) и с конца моста выехал последний вагон (хвост поезда). Ответ выразите в метрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Поезд длиной 150 метров проезжает через первый мост за 30 секунд, а через второй мост — за 50 секунд. Второй мост на 400 метров длиннее первого. Чему равна длина первого моста?
Время, за которое «поезд проезжает мост» — это время между тем, как на начало моста заехал паровоз (нос поезда) и с конца моста выехал последний вагон (хвост поезда). Ответ выразите в метрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Поезд длиной 250 метров проезжает через первый мост за 40 секунд, а через второй мост — за 60 секунд. Второй мост на 500 метров длиннее первого. Чему равна длина первого моста?
Время, за которое «поезд проезжает мост» — это время между тем, как на начало моста заехал паровоз (нос поезда) и с конца моста выехал последний вагон (хвост поезда). Ответ выразите в метрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Поезд длиной 250 метров проезжает через первый мост за 50 секунд, а через второй мост — за 70 секунд. Второй мост на 300 метров длиннее первого. Чему равна длина первого моста?
Время, за которое «поезд проезжает мост» — это время между тем, как на начало моста заехал паровоз (нос поезда) и с конца моста выехал последний вагон (хвост поезда). Ответ выразите в метрах.

Ответ: Посмотреть ответ

5 класс

На уроке физкультуры Оля, Максим, Юля, Артём и Даша выстроились в шеренгу в некотором порядке. Учитель трижды перестраивал их: сначала поменял местами Олю с Артёмом, потом — Максима с Дашей и, наконец, Юлю с Олей. В итоге ребята стоят в следующем порядке: Юля, Даша, Оля, Артём, Максим. В каком порядке они стояли до перестроений?
Расставьте в верной последовательности.
Оля
Артём
Максим
Юля
Даша

Ответ: Артём, Максим, Юля, Оля, Даша

Задание 1.1

На уроке физкультуры Катя, Дима, Аня, Паша и Света выстроились в шеренгу в некотором порядке. Учитель трижды перестраивал их: сначала поменял местами Катю с Димой, потом — Пашу со Светой и, наконец, Аню с Катей. В итоге ребята стоят в следующем порядке: Аня, Дима, Катя, Света, Паша. В каком порядке они стояли до перестроений?
Расставьте в верной последовательности.
Паша
Дима
Катя
Аня
Света

Ответ: Дима, Катя, Аня, Паша, Света

Задание 1.2

На уроке физкультуры Лёша, Марина, Витя, Нина и Коля выстроились в шеренгу в некотором порядке. Учитель трижды перестраивал их: сначала поменял местами Марину с Ниной, потом — Лёшу с Колей и, наконец, Витю с Мариной. В итоге ребята стоят в следующем порядке: Лёша, Витя, Нина, Марина, Коля. В каком порядке они стояли до перестроений?
Расставьте в верной последовательности.
Витя
Коля
Нина
Марина
Лёша

Ответ: Коля, Нина, Марина, Витя, Лёша

Задание 1.3

На уроке физкультуры Ира, Лена, Маша, Рома и Федя выстроились в шеренгу в некотором порядке. Учитель трижды перестраивал их: сначала поменял местами Машу с Федей, потом — Рому с Ирой и, наконец, Лену с Машей. В итоге ребята стоят в следующем порядке: Маша, Федя, Ира, Рома, Лена. В каком порядке они стояли до перестроений?
Расставьте в верной последовательности.
Ира
Лена
Маша
Рома
Федя

Ответ: Лена, Маша, Рома, Ира, Федя

Задание 2

Ребята обвели мелом площадку для игры в виде прямоугольника длиной 70 дециметров и шириной 9 метров 50 сантиметров. А затем разделили её одной линией на две прямоугольные части. Сколько всего граммов мела могло понадобиться ребятам, если на каждый метр линии уходит по 2 грамма? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 80; 85

Задание 2.1

Ребята обвели мелом площадку для игры в виде прямоугольника длиной 60 дециметров и шириной 10 метров 50 сантиметров. А затем разделили её одной линией на две прямоугольные части. Сколько всего граммов мела могло понадобиться ребятам, если на каждый метр линии уходит по 2 грамма? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 78; 87

Задание 2.2

Ребята обвели мелом площадку для игры в виде прямоугольника длиной 40 дециметров и шириной 11 метров 50 сантиметров. А затем разделили её одной линией на две прямоугольные части. Сколько всего граммов мела могло понадобиться ребятам, если на каждый метр линии уходит по 2 грамма? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 70; 85

Задание 2.3

Ребята обвели мелом площадку для игры в виде прямоугольника длиной 70 дециметров и шириной 10 метров 50 сантиметров. А затем разделили её одной линией на две прямоугольные части. Сколько всего граммов мела могло понадобиться ребятам, если на каждый метр линии уходит по 2 грамма? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 84; 91

Задание 3

В квартире живут люди и собаки, и в одной из комнат стоит аквариум, в котором плавает не менее одной рыбки. В какой-то момент в этой комнате оказалось 9 голов и 10 ног. Сколько хвостов могло быть в этой комнате в тот же момент? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 4; 6; 8

Задание 3.1

В квартире живут люди и собаки, и в одной из комнат стоит аквариум, в котором плавает не менее одной рыбки. В какой-то момент в этой комнате оказалось 7 голов и 10 ног. Сколько хвостов могло быть в этой комнате в тот же момент? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 2; 4; 6

Задание 3.2

В квартире живут люди и собаки, и в одной из комнат стоит аквариум, в котором плавает не менее одной рыбки. В какой-то момент в этой комнате оказалось 6 голов и 10 ног. Сколько хвостов могло быть в этой комнате в тот же момент? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 1; 3; 5

Задание 3.3

В квартире живут люди и собаки, и в одной из комнат стоит аквариум, в котором плавает не менее одной рыбки. В какой-то момент в этой комнате оказалось 8 голов и 10 ног. Сколько хвостов могло быть в этой комнате в тот же момент? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3; 5; 7

Задание 4

На гранях кубика изображены разные цифры от 1 до 6. Про этот кубик известно, что:

• напротив грани с цифрой 5 находится грань с цифрой 1;
• если поставить его так, что цифра 3 окажется на задней грани, а 5 — на левой, то на верхней грани будет цифра 6;
• если поставить его на грань с цифрой 6, то на верхней грани окажется цифра 4.

Заполните пропуски в развёртке.

Ответ:

Задание 4.1

На гранях кубика изображены разные цифры от 1 до 6. Про этот кубик известно, что:

• напротив грани с цифрой 4 находится грань с цифрой 6;
• если поставить его так, что цифра 2 окажется на задней грани, а 4 — на левой, то на верхней грани будет цифра 5;
• если поставить его на грань с цифрой 5, то на верхней грани окажется цифра 3.

Заполните пропуски в развёртке.

Ответ:

Задание 4.2

На гранях кубика изображены разные цифры от 1 до 6. Про этот кубик известно, что:

• напротив грани с цифрой 2 находится грань с цифрой 4;
• если поставить его так, что цифра 5 окажется на задней грани, а 2 — на левой, то на верхней грани будет цифра 1;
• если поставить его на грань с цифрой 1, то на верхней грани окажется цифра 6.

Заполните пропуски в развёртке.

Ответ:

Задание 4.3

На гранях кубика изображены разные цифры от 1 до 6. Про этот кубик известно, что:

• напротив грани с цифрой 1 находится грань с цифрой 5;
• если поставить его так, что цифра 4 окажется на задней грани, а 1 — на левой, то на верхней грани будет цифра 3;
• если поставить его на грань с цифрой 3, то на верхней грани окажется цифра 2.

Заполните пропуски в развёртке.

Ответ:

Задание 5

Лиза запомнила, что 9 лет ей исполнилось в четверг. В какой день недели ей могло исполниться 11 лет? Выберите все подходящие варианты:
В понедельник
Во вторник
В среду
В четверг
В пятницу
В субботу
В воскресенье

Ответ: в субботу, в воскресенье

Задание 5.1

Роберт запомнил, что 10 лет ему исполнилось в пятницу. В какой день недели ему могло исполниться 12 лет? Выберите все подходящие варианты:
В понедельник
Во вторник
В среду
В четверг
В пятницу
В субботу
В воскресенье

Ответ: в воскресенье, в понедельник

Задание 5.2

Вера запомнила, что 10 лет ей исполнилось в среду. В какой день недели ей могло исполниться 12 лет? Выберите все подходящие варианты:
В понедельник
Во вторник
В среду
В четверг
В пятницу
В субботу
В воскресенье

Ответ: в пятницу, в субботу

Задание 5.3

Арсений запомнил, что 9 лет ему исполнилось в понедельник. В какой день недели ему могло исполниться 11 лет? Выберите все подходящие варианты:
В понедельник
Во вторник
В среду
В четверг
В пятницу
В субботу
В воскресенье

Ответ: в среду, в четверг

Задание 6

Алиса выписала подряд друг за другом 45 последовательных натуральных чисел. Оказалось, что для этого ей понадобилось 117 цифр. Какое число она выписала 7-м по счёту?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

Маша выписала подряд друг за другом 60 последовательных натуральных чисел. Оказалось, что для этого ей понадобилась 161 цифра. Какое число она выписала 12-м по счёту?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Дима выписал подряд друг за другом 55 последовательных натуральных чисел. Оказалось, что для этого ему понадобилось 146 цифр. Какое число он выписал 14-м по счёту?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Вася выписал подряд друг за другом 50 последовательных натуральных чисел. Оказалось, что для этого ему понадобилось 132 цифры. Какое число он выписал 9-м по счёту?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

На доске написаны несколько натуральных чисел (более одного). Оказалось, что и сумма, и произведение этих чисел равны 28. Сколько могло быть чисел на доске? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

На доске написаны несколько натуральных чисел (более одного). Оказалось, что и сумма, и произведение этих чисел равны 18. Сколько могло быть чисел на доске? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

На доске написаны несколько натуральных чисел (более одного). Оказалось, что и сумма, и произведение этих чисел равны 12. Сколько могло быть чисел на доске? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

На доске написаны несколько натуральных чисел (более одного). Оказалось, что и сумма, и произведение этих чисел равны 20. Сколько могло быть чисел на доске? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

В школе 60 отличниц и 100 спортсменок. Среди отличниц 18 любят тяжёлый рок, а среди спортсменок 94 любят тяжёлый рок. Какое наибольшее количество отличниц может являться спортсменками?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.1

В школе 50 отличниц и 100 спортсменок. Среди отличниц 13 любят тяжёлый рок, а среди спортсменок 86 любят тяжёлый рок. Какое наибольшее количество отличниц может являться спортсменками?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

В школе 35 отличниц и 80 спортсменок. Среди отличниц 11 любят тяжёлый рок, а среди спортсменок 68 любят тяжёлый рок. Какое наибольшее количество отличниц может являться спортсменками?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

В школе 40 отличниц и 90 спортсменок. Среди отличниц 12 любят тяжёлый рок, а среди спортсменок 72 любят тяжёлый рок. Какое наибольшее количество отличниц может являться спортсменками?

Ответ: Посмотреть ответ

6 класс

Прямая улица заканчивается тупиком. На этой улице дома расположены точно друг напротив друга. На одной стороне они пронумерованы 1, 2, 3 и т. д., а нумерация по другой стороне продолжается от тупика. Дом № 37 находится напротив дома № 64.
Сколько всего домов на этой улице?
Какой номер у дома, стоящего напротив дома № 22?

Ответ: 100; 79

Задание 1.1

Прямая улица заканчивается тупиком. На этой улице дома расположены точно друг напротив друга. На одной стороне они пронумерованы 1, 2, 3 и т. д., а нумерация по другой стороне продолжается от тупика. Дом № 26 находится напротив дома № 95.
Сколько всего домов на этой улице?
Какой номер у дома, стоящего напротив дома № 44?

Ответ: 120; 77

Задание 1.2

Прямая улица заканчивается тупиком. На этой улице дома расположены точно друг напротив друга. На одной стороне они пронумерованы 1, 2, 3 и т. д., а нумерация по другой стороне продолжается от тупика. Дом № 41 находится напротив дома № 70.
Сколько всего домов на этой улице?
Какой номер у дома, стоящего напротив дома № 88?

Ответ: 110; 23

Задание 1.3

Прямая улица заканчивается тупиком. На этой улице дома расположены точно друг напротив друга. На одной стороне они пронумерованы 1, 2, 3 и т. д., а нумерация по другой стороне продолжается от тупика. Дом № 50 находится напротив дома № 81.
Сколько всего домов на этой улице?
Какой номер у дома, стоящего напротив дома № 66?

Ответ: 130; 65

Задание 2

Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из любой клетки можно дойти до любой другой клетки, переходя каждый раз к соседней клетке (имеющей с предыдущей общую сторону).
Дан клетчатый прямоугольник 4 × 6. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилась связная клетчатая фигура с периметром, равным 32.

Ответ:

Задание 2.1

Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из любой клетки можно дойти до любой другой клетки, переходя каждый раз к соседней клетке (имеющей с предыдущей общую сторону).
Дан клетчатый прямоугольник 3 × 7. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилась связная клетчатая фигура с периметром, равным 32.

Ответ:

Задание 2.2

Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из любой клетки можно дойти до любой другой клетки, переходя каждый раз к соседней клетке (имеющей с предыдущей общую сторону).
Дан клетчатый прямоугольник 4 × 5. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилась связная клетчатая фигура с периметром, равным 28.

Ответ:

Задание 2.3

Назовём клетчатую фигуру связной, если в ней из любой клетки можно дойти до любой другой клетки, переходя каждый раз к соседней клетке (имеющей с предыдущей общую сторону).
Дан клетчатый квадрат 5 × 5. Отметьте несколько клеток так, чтобы получилась связная клетчатая фигура с периметром, равным 32.

Ответ:

Задание 3

Чиж и стриж стартуют одновременно и летят по очень большому кругу в одном направлении. Скорость чижа — 20 м/с, скорость стрижа — 30 м/с. Во время второго круга чиж сел поправить перья, на что потратил 25 секунд. На сколько секунд раньше теперь стриж догонит чижа по сравнению с ситуацией, когда чижу не нужно было бы делать вынужденную посадку?

Ответ: 50

Задание 3.1

Заяц и Волк стартуют одновременно и бегут по очень большому кругу в одном направлении. Скорость Зайца — 8 м/с, скорость Волка — 10 м/с. Во время второго круга у Зайца развязались шнурки, на перевязку которых он потратил 20 секунд. На сколько секунд раньше теперь Волк догонит Зайца по сравнению с ситуацией, когда Зайцу не нужно было бы делать вынужденную остановку?

Ответ: 80

Задание 3.2

Кошка и мышка стартуют одновременно и бегут по очень большому кругу в одном направлении. Скорость мышки — 6 м/с, скорость кошки — 9 м/с. Во время второго круга мышка запуталась в своём хвосте, и она выпутывалась в течение 20 секунд. На сколько секунд раньше теперь кошка догонит мышку по сравнению с ситуацией, когда той не нужно было бы делать вынужденную остановку?

Ответ: 40

Задание 3.3

Улитка и черепаха стартуют одновременно и ползут по очень большому кругу в одном направлении. Скорость улитки — 12 мм/с, скорость черепахи — 15 мм/с. Во время второго круга улитка остановилась перекусить листком, на что потратила 30 секунд. На сколько секунд раньше теперь черепаха догонит улитку по сравнению с ситуацией, когда улитке не нужно делать перерыв на обед?

Ответ: 120

Задание 4

У Димы есть 24 рубля. Он пришёл в магазин, в котором продавались значки семи различных цветов стоимостью 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12 рублей. Сколькими способами он может купить наибольшее количество значков разных цветов? Дима не обязан потратить все деньги.

Ответ: 13

Задание 4.1

У Алисы есть 21 рубль. Она пришла в магазин, в котором продавались значки семи различных цветов стоимостью 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11 рублей. Сколькими способами она может купить наибольшее количество значков разных цветов? Алиса не обязана потратить все деньги.

Ответ: 10

Задание 4.2

У Сергея есть 22 рубля. Он пришёл в магазин, в котором продавались шарики семи различных цветов стоимостью 4, 5, 7, 8, 9, 10, 12 рублей. Сколькими способами он может купить наибольшее количество шариков разных цветов? Сергей не обязан потратить все деньги.

Ответ: 14

Задание 4.3

У Коли есть 25 рублей. Он пришёл в магазин, в котором продавались шарики семи различных цветов стоимостью 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 рублей. Сколькими способами он может купить наибольшее количество шариков разных цветов? Коля не обязан потратить все деньги.

Ответ: 11

Задание 5

Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на треть своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на треть и так далее. Когда мяч коснулся земли в четвёртый раз, он пролетел суммарно 106 метров.
С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах.
После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше одного метра?

Ответ: 54; 4

Задание 5.1

Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на четверть своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на четверть и так далее. Когда отметили максимальную высоту подъёма в четвёртый раз (первый раз — когда отпустили), он пролетел суммарно 105 метров.
С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах.
После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше двух метров?

Ответ: 64; 3

Задание 5.2

Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на три четверти своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на три четверти и так далее. Когда отметили максимальную высоту подъёма в третий раз (первый раз — когда отпустили), он пролетел суммарно 98 метров.
С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах.
Какая по счёту отметка впервые окажется высотой меньше 12 метров?

Ответ: 32; 4

Задание 5.3

Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на две трети своей предыдущей высоты, снова падает вниз, опять отскакивает на две трети и так далее. Когда мяч коснулся земли в третий раз, он пролетел суммарно 87 метров.
С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах.
После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше 15 метров?

Ответ: 27; 2

Задание 6

Известно, что произведение всех цифр натурального числа n, не содержащего в своей десятичной записи единиц, равно 180.
Найдите наибольшее возможное значение n.
Найдите наименьшее возможное значение n.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

Известно, что произведение всех цифр натурального числа n, не содержащего в своей десятичной записи единиц, равно 252.
Найдите наибольшее возможное значение n.
Найдите наименьшее возможное значение n.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Известно, что произведение всех цифр натурального числа n, не содержащего в своей десятичной записи единиц, равно 378.
Найдите наибольшее возможное значение n.
Найдите наименьшее возможное значение n.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Известно, что произведение всех цифр натурального числа n, не содержащего в своей десятичной записи единиц, равно 270.
Найдите наибольшее возможное значение n.
Найдите наименьшее возможное значение n.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

На клетчатом поле 6 × 10 располагают 9 мин. После этого на каждой клетке без мины записывают число мин на соседних с ней клетках. Найдите максимальную возможную сумму чисел на доске.
Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону или вершину, то есть у одной клетки может быть до 8 соседей. Ниже приведён пример подобной доски размера 5 × 5 с 4 минами.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

На клетчатом поле 10 × 8 располагают 13 мин. После этого на каждой клетке без мины записывают число мин на соседних с ней клетках. Найдите максимальную возможную сумму чисел на доске.
Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону или вершину, то есть у одной клетки может быть до 8 соседей. Ниже приведён пример подобной доски размера 5 × 5 с 4 минами.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

На клетчатом поле 6 × 8 располагают 7 мин. После этого на каждой клетке без мины записывают число мин на соседних с ней клетках. Найдите максимальную возможную сумму чисел на доске.
Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону или вершину, то есть у одной клетки может быть до 8 соседей. Ниже приведён пример подобной доски размера 5 × 5 с 4 минами.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

На клетчатом поле 8 × 8 располагают 10 мин. После этого на каждой клетке без мины записывают число мин на соседних с ней клетках. Найдите максимальную возможную сумму чисел на доске.
Соседними считаем клетки, имеющие общую сторону или вершину, то есть у одной клетки может быть до 8 соседей. Ниже приведён пример подобной доски размера 5 × 5 с 4 минами.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

В школьном лагере занимались математики, физики и информатики. Количество математиков больше, чем восьмикратное количество физиков. Пятикратное количество физиков больше, чем учетверённое количество информатиков. Семикратное количество информатиков больше количества математиков. Найдите наименьшее возможное общее число школьников.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.1

В школьном лагере занимались математики, физики и информатики. Количество математиков больше, чем удвоенное количество физиков. Утроенное количество физиков больше, чем учетверённое количество информатиков. Утроенное количество информатиков больше количества математиков. Найдите наименьшее возможное общее число школьников.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

В школьном лагере занимались математики, физики и информатики. Количество математиков больше, чем учетверённое количество физиков. Пятикратное количество физиков больше, чем семикратное количество информатиков. Шестикратное количество информатиков больше количества математиков. Найдите наименьшее возможное общее число школьников.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

В школьном лагере занимались математики, физики и информатики. Количество математиков больше, чем учетверённое количество физиков. Утроенное количество физиков больше, чем учетверённое количество информатиков. Ушестерённое количество информатиков больше количества математиков. Найдите наименьшее возможное общее число школьников.

Ответ: Посмотреть ответ

7 класс

Куб 3 × 3 × 3 составлен из единичных кубиков. Из него вынули кубик, находившийся в центре одной из граней большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая пять новых квадратных граней выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?

Ответ: 8

Задание 1.1

Куб 4 × 4 × 4 составлен из единичных кубиков. Из него вынули один из двух кубиков, не являющихся угловыми и находящихся на одном ребре большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая четыре новые квадратные грани выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?

Ответ: 24

Задание 1.2

Куб 4 × 4 × 4 составлен из единичных кубиков. Из него вынули один из четырёх кубиков, не примыкающих к рёбрам и находящихся на одной грани большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая пять новых квадратных граней выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?

Ответ: 24

Задание 1.3

Куб 3 × 3 × 3 составлен из единичных кубиков. Из него вынули кубик, находившийся в середине одного из рёбер большого куба. Затем всю поверхность получившегося тела, включая четыре новые квадратные грани выемки, покрасили, после чего тело разобрали на единичные кубики. Сколько кубиков имеют ровно 2 окрашенные грани?

Ответ: 13

Задание 2

Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ в коробке B или D»;
B: «Ключ не в коробке A»;
C: «Ключ в коробке C»;
D: «Ключ не в коробке D».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D

Ответ: A

Задание 2.1

Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ не в коробке A»;
B: «Ключ в коробке A или C»;
C: «Ключ не в коробке B»;
D: «Ключ в коробке D».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D

Ответ: B

Задание 2.2

Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ не в коробке D»;
B: «Ключ в коробке B»;
C: «Ключ не в коробке C»;
D: «Ключ в коробке A или C».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D

Ответ: D

Задание 2.3

Только в одной из четырёх коробок A, B, C, D лежит ключ. На коробках написано следующее:
A: «Ключ в коробке A»;
B: «Ключ не в коробке B»;
C: «Ключ в коробке B или D»;
D: «Ключ не в коробке C».
Известно, что ровно одна из этих надписей истинна. В какой коробке находится ключ?
A
B
C
D

Ответ: C

Задание 3

На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
a − b > 0
a + b < 0
ab > 0
b(a − b) < 0
2a + b > 0
a/b < 0

Ответ: a + b < 0; b(a − b) < 0; a/b < 0

Задание 3.1

На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
a/b < 0
a − b > 0
b(a − b) < 0
a + 2b > 0
ab > 0
a + b < 0

Ответ: a/b < 0; a − b > 0; b(a − b) < 0; a + b < 0

Задание 3.2

На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
a + b < 0
a + 2b > 0
ab > 0
a − b > 0
b(a − b) < 0
a/b < 0

Ответ: a + 2b > 0; b(a − b) < 0; a/b < 0

Задание 3.3

На числовой оси отмечены точки, соответствующие числам b, −a и a.
Какие утверждения верны? Выберите все подходящие варианты:
b(a − b) < 0
a/b < 0
a + b < 0
a − b > 0
ab > 0
2a + b > 0

Ответ: b(a − b) < 0; a/b < 0; a − b > 0; 2a + b > 0

Задание 4

Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки B1 и D3.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки B1, так и от клетки D3? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: A3; B4; E1

Задание 4.1

Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки A2 и C4.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки A2, так и от клетки C4? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: A5; C1; D2

Задание 4.2

Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки B3 и D5.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки B3, так и от клетки D5? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: A5; D2; E3

Задание 4.3

Каждая клетка квадрата обозначена буквой столбца и номером строки. За один шаг можно перейти из клетки в соседнюю клетку, имеющую с ней общую сторону. Расстоянием между двумя клетками называется наименьшее число шагов, необходимое для перехода из одной клетки в другую.
На рисунке крестиками отмечены клетки C2 и E4.
Какие клетки находятся на расстоянии 3 как от клетки C2, так и от клетки E4? Выберите все подходящие варианты:

Ответ: B4; C5; E1

Задание 5

Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 10, b − c = 5, d = 3c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.

Ответ: 37269

Задание 5.1

Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 8, b − c = 2, d = 2c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.

Ответ: 53127

Задание 5.2

Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 7, b − c = 4, d = 4c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.

Ответ: 25146

Задание 5.3

Код камеры хранения состоит из пяти различных цифр и имеет вид abcde, причём первая цифра не равна нулю. Известно, что
a + b = 12, b − c = 5, d = 2c, e = a + d,
а сам код делится на 9. Восстановите код.

Ответ: 57249

Задание 6

На доске нарисован прямоугольник площади 96. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 1, а короткую увеличить на 1, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

На доске нарисован прямоугольник площади 230. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 2, а короткую увеличить на 2, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

На доске нарисован прямоугольник площади 130. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 2, а короткую увеличить на 2, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

На доске нарисован прямоугольник площади 300. Оказалось, что если длинную сторону уменьшить на 3, а короткую увеличить на 3, то прямоугольник станет квадратом. Найдите площадь получившегося квадрата.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 3375. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 1215. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 3456. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел равен одному из этих чисел, а их произведение равно 7776. Какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих чисел?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.1

Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Робот может передвигаться по линиям сетки только вправо или вверх.
Сколькими способами он может пройти из точки A в точку B, не проходя по участку, отмеченному на рисунке жирной линией?

Ответ: Посмотреть ответ

8 класс

Куб 9 × 9 × 9 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?

Ответ: 25

Задание 1.1

Куб 15 × 15 × 15 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?

Ответ: 43

Задание 1.2

Куб 13 × 13 × 13 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?

Ответ: 37

Задание 1.3

Куб 11 × 11 × 11 составлен из единичных кубиков. Через его центр проложили три прямых тоннеля сечением 1 × 1: каждый тоннель соединяет центры двух противоположных граней, а направления тоннелей попарно перпендикулярны. Для этого все единичные кубики, через которые проходят тоннели, вынули. Сколько кубиков вынули?

Ответ: 31

Задание 2

Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?

Ответ: 8

Задание 2.1

Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?

Ответ: 4

Задание 2.2

Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?

Ответ: 6

Задание 2.3

Пол зала разбит на 4 × 4 квадратных клеток. В двух клетках, отмеченных на рисунке, стоят колонны. Остальную часть пола покрывают плитками 1 × 2 клетки без наложений и зазоров. Плитки можно поворачивать.
Сколькими способами можно уложить плитки?

Ответ: 6

Задание 3

На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 2, 3, 3 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BD
CE
AC
DE
DF
CF
AF
BE

Ответ: CE; AF

Задание 3.1

На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 3, 3, 3, 3, 2 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 3 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
AC
BD
CE
DF
BE
CF
DE

Ответ: AC; DE

Задание 3.2

На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 4, 4, 3, 3, 2, 2 канала (к пункту A — 4 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
AF
DF
AC
CE
BD
BE
CF
DE

Ответ: AC; BD

Задание 3.3

На схеме показаны уже проложенные каналы связи между пунктами A, B, C, D, E, F.
Требуется проложить ровно два новых канала так, чтобы к этим пунктам подходило соответственно 3, 4, 3, 3, 3, 2 канала (к пункту A — 3 канала, пункту B — 4 канала, и т. д.). Какие каналы необходимо провести?
BE
BD
DE
AC
AF
CE
CF
DF

Ответ: BD; CE

Задание 4

Три автоматических датчика записывают показания в журнал:

Датчик	Первое время записи	Период
A	3 мин	4 мин
B	5 мин	6 мин
C	2 мин	9 мин

Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент (мин):
Второй момент (мин):

Ответ: 11; 47

Задание 4.1

Три автоматических датчика записывают показания в журнал:

Датчик	Первое время записи	Период
A	6 мин	7 мин
B	2 мин	9 мин
C	8 мин	12 мин

Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент (мин):
Второй момент (мин):

Ответ: 20; 272

Задание 4.2

Три автоматических датчика записывают показания в журнал:

Датчик	Первое время записи	Период
A	2 мин	6 мин
B	6 мин	8 мин
C	5 мин	9 мин

Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент (мин):
Второй момент (мин):

Ответ: 14; 86

Задание 4.3

Три автоматических датчика записывают показания в журнал:

Датчик	Первое время записи	Период
A	2 мин	5 мин
B	1 мин	8 мин
C	7 мин	10 мин

Время отсчитывается от запуска системы. Найдите первые два момента, в которые все три датчика сделают запись одновременно.
Первый момент (мин):
Второй момент (мин):

Ответ: 17; 57

Задание 5

Трёхзначный код обладает следующими свойствами:

• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 468;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 198;
• исходный код делится на 11.

Найдите исходный код.

Ответ: 385

Задание 5.1

Трёхзначный код обладает следующими свойствами:

• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 477;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 297;
• исходный код делится на 11.

Найдите исходный код.

Ответ: 275

Задание 5.2

Трёхзначный код обладает следующими свойствами:

• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 189;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 99;
• исходный код делится на 11.

Найдите исходный код.

Ответ: 132

Задание 5.3

Трёхзначный код обладает следующими свойствами:

• если первую цифру перенести в конец, число увеличится на 576;
• если цифры записать в обратном порядке, число увеличится на 396;
• исходный код делится на 11.

Найдите исходный код.

Ответ: 286

Задание 6

Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 8 и НОК(a; b) = 7560?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 6 и НОК(a; b) = 6300?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 12 и НОК(a; b) = 27720?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Сколько существует пар натуральных чисел (a; b), для которых одновременно НОД(a; b) = 15 и НОК(a; b) = 18900?
Пары (a; b) и (b; a) при a ≠ b считаются различными.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

В треугольнике ABC ∠BAC = 37°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

В треугольнике ABC ∠BAC = 53°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

В треугольнике ABC ∠BAC = 41°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

В треугольнике ABC ∠BAC = 48°. На стороне AC выбрана точка D, отличная от C, так, что BD = BC. На стороне AB выбрана точка E, отличная от B, так, что CE = CB. Отрезки BD и CE пересекаются в точке P. Найдите угол ∠BPC. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 8.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.1

Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 6.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 5.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Число x таково, что x³ + 4x = 8. Найдите x⁷ + 64x² + 7.

Ответ: Посмотреть ответ

9 класс

Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что

• Андрей не был ни первым, ни последним;
• Витя финишировал непосредственно перед Андреем;
• Боря занял место на две позиции ниже, чем Витя;
• Дима финишировал раньше Глеба;
• Глеб не был последним.

Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима

Ответ: Дима, Глеб, Витя, Андрей, Боря

Задание 1.1

Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что

• Дима не был ни первым, ни последним;
• Андрей финишировал непосредственно перед Димой;
• Витя занял место на две позиции ниже, чем Андрей;
• Глеб финишировал раньше Бори;
• Боря не был последним.

Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима

Ответ: Глеб, Боря, Андрей, Дима, Витя

Задание 1.2

Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что

• Витя не был ни первым, ни последним;
• Глеб финишировал непосредственно перед Витей;
• Дима занял место на две позиции ниже, чем Глеб;
• Боря финишировал раньше Андрея;
• Андрей не был последним.

Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима

Ответ: Боря, Андрей, Глеб, Витя, Дима

Задание 1.3

Пять участников забега финишировали без ничьих. Известно, что

• Боря не был ни первым, ни последним;
• Дима финишировал непосредственно перед Борей;
• Глеб занял место на две позиции ниже, чем Дима;
• Андрей финишировал раньше Вити;
• Витя не был последним.

Расположите участников в том порядке, в котором они финишировали.
Расставьте в верной последовательности.
Андрей
Боря
Витя
Глеб
Дима

Ответ: Андрей, Витя, Дима, Боря, Глеб

Задание 2

Точки A = (4, 3), B = (8, 4) и C = (6, 7) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

Ответ: (2, 6), (6, 0), (10, 8); 42

Задание 2.1

Точки A = (5, 5), B = (8, 6) и C = (4, 9) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

Ответ: (1, 8), (7, 10), (9, 2); 39

Задание 2.2

Точки A = (4, 4), B = (8, 5) и C = (6, 9) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

Ответ: (2, 8), (6, 0), (10, 10); 54

Задание 2.3

Точки A = (3, 5), B = (7, 3) и C = (8, 8) являются тремя вершинами параллелограмма, но неизвестно, какие из них соседние, а какие противоположные.
Отметьте на рисунке все возможные положения четвёртой вершины D.
Найдите сумму площадей получившихся параллелограммов.

Ответ: (2, 0), (4, 10), (12, 6); 66

Задание 3

График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 17 и 37.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.

Ответ: 26,5

Задание 3.1

График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 8 и 22.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.

Ответ: 14,5

Задание 3.2

График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 14 и 30.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.

Ответ: 21,5

Задание 3.3

График приведённого квадратного трёхчлена пересекает биссектрису первой координатной четверти в точках с абсциссами 11 и 29.
Найдите абсциссу вершины этого трёхчлена.

Ответ: 19,5

Задание 4

Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
68 69 70 71
67 78 79 72
66 77 80 73
65 76 75 74

Ответ: 78; 72; 76; 74

Задание 4.1

Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
5 6 7 8
16 17 18 9
15 20 19 10
14 13 12 11

Ответ: 16; 18; 14; 12

Задание 4.2

Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
51 52 53 54
50 59 60 55
49 58 57 56
48 47 46 45

Ответ: 52; 54; 58; 56

Задание 4.3

Отметьте несколько клеток в этом квадрате 4 × 4 так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей точки, а сумма чисел в отмеченных клетках была максимально возможной.
34 35 36 25
33 40 37 26
32 39 38 27
31 30 29 28

Ответ: 34; 36; 32; 38

Задание 5

Сумма двух натуральных чисел равна 162, их наибольший общий делитель равен 18, а наименьшее общее кратное равно 360. Найдите эти числа. Порядок не важен.

Ответ: 72; 90

Задание 5.1

Сумма двух натуральных чисел равна 330, их наибольший общий делитель равен 30, а наименьшее общее кратное равно 900. Найдите эти числа. Порядок не важен.

Ответ: 150; 180

Задание 5.2

Сумма двух натуральных чисел равна 275, их наибольший общий делитель равен 25, а наименьшее общее кратное равно 600. Найдите эти числа. Порядок не важен.

Ответ: 75; 200

Задание 5.3

Сумма двух натуральных чисел равна 144, их наибольший общий делитель равен 12, а наименьшее общее кратное равно 420. Найдите эти числа. Порядок не важен.

Ответ: 60; 84

Задание 6

На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить на доске пару чисел 93 и 161?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить пару чисел 93 и 25?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить пару чисел 143 и 25?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

На доске записаны числа 1 и 1. За один ход разрешается прибавить одно из записанных чисел к другому, заменив второе число полученной суммой. За какое наименьшее число ходов можно получить пару чисел 43 и 68?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Даны 100 карточек с числами 1, 2, …, 100. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 9900 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 60 раз? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

Даны 90 карточек с числами 1, 2, …, 90. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 8010 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 54 раза? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Даны 80 карточек с числами 1, 2, …, 80. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 6320 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 48 раз? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Даны 120 карточек с числами 1, 2, …, 120. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Так на доске оказались выписаны 14280 чисел. Какие числа выписаны на доске ровно 72 раза? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 9, AK = 3.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.1

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 6, AK = 2.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 7, AK = 2.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ABD = ∠ACD = 90°. Перпендикуляр к AD, проведённый из точки B, пересекает отрезок AC в точке K. Найдите длину отрезка KC, если AB = 8, AK = 4.

Ответ: Посмотреть ответ

10 класс

На рисунке изображён график функции y = −a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:

a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b > 0
a < 0, k < 0, b > 0
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0

Ответ: a < 0, k < 0, b < 0; a < 0, k > 0, b > 0

Задание 1.1

На рисунке изображён график функции y = a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
a > 0, k < 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0

Ответ: a > 0, k > 0, b < 0; a > 0, k < 0, b > 0

Задание 1.2

На рисунке изображён график функции y = a − |kx + b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b < 0
a < 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0

Ответ: a > 0, k > 0, b > 0; a > 0, k < 0, b < 0

Задание 1.3

На рисунке изображён график функции y = −a − |kx − b|.
Выберите те утверждения, которые могут быть верны:
a < 0, k < 0, b < 0
a > 0, k < 0, b < 0
a < 0, k < 0, b > 0
a > 0, k < 0, b > 0
a > 0, k > 0, b < 0
a < 0, k > 0, b < 0
a > 0, k > 0, b > 0
a < 0, k > 0, b > 0

Ответ: a < 0, k < 0, b > 0; a < 0, k > 0, b < 0

Задание 2

Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 8 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 54.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: b = 18; a = 24, 48

Задание 2.1

Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 45 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 60.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: b = 20; a = 10, 70

Задание 2.2

Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 27 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 36.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: b = 12; a = 6, 42

Задание 2.3

Числа a, b, c образуют арифметическую прогрессию (в таком порядке), числа b, c, 18 — геометрическую прогрессию (в таком порядке), и при этом a + b + c = 24.
Какие значения может принимать b? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.
Какие значения может принимать a? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: b = 8; a = 4, 28

Задание 3

На окружности отмечены 18 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 18. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?

Ответ: 7/34

Задание 3.1

На окружности отмечены 20 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 20. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?

Ответ: 4/19

Задание 3.2

На окружности отмечены 12 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 12. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?

Ответ: 2/11

Задание 3.3

На окружности отмечены 14 точек. Они пронумерованы по часовой стрелке последовательно целыми числами от 1 до 14. Какова вероятность, что у случайно выбранного треугольника с вершинами в этих точках все вершины будут одной чётности?

Ответ: 5/26

Задание 4

Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 5 и n + 32 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 4; 164

Задание 4.1

Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 12 и n + 45 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 4; 244

Задание 4.2

Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 20 и n + 59 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 5; 341

Задание 4.3

Найдите все натуральные числа n, для которых оба числа n + 6 и n + 61 являются точными квадратами. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3; 723

Задание 5

В треугольнике ABC со сторонами AB = 5 и AC = 6 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.

Ответ: 1/11

Задание 5.1

В треугольнике ABC со сторонами AB = 3 и AC = 4 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.

Ответ: 1/7

Задание 5.2

В треугольнике ABC со сторонами AB = 4 и AC = 5 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.

Ответ: 1/9

Задание 5.3

В треугольнике ABC со сторонами AB = 6 и AC = 7 провели биссектрису AD. Прямая, проходящая через точку D перпендикулярно этой биссектрисе, пересекает прямые AB и AC в точках F и E соответственно. Найдите EC − FB.

Ответ: 1/13

Задание 6

Последовательность задана условиями a₁ = 2, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n. Найдите a₂₀₂₆. Найдите сумму первых 2026 членов последовательности.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

Последовательность задана условиями a₁ = 3, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₃₀.
Найдите сумму первых 2030 членов последовательности.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Последовательность задана условиями a₁ = 5, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀₂.
Найдите сумму первых 2002 членов последовательности.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Последовательность задана условиями a₁ = 4, aₙ₊₁ = (aₙ − 1)/(aₙ + 1) при всех натуральных n.
Найдите a₂₀₁₈.
Найдите сумму первых 2018 членов последовательности.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 80, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 90, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 110, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Имеется натуральное число N. Алиса и Маруся по очереди выписывают на доску различные натуральные числа по следующему правилу: каждое выписанное число должно быть делителем N и при этом быть взаимно просто со всеми числами, уже выписанными на доску. Алиса ходит первой. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Сколько существует натуральных чисел N, не больших 100, таких, что Маруся имеет возможность выиграть независимо от действий Алисы?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 9°. Найдите градусную меру угла BAI.

Ответ: 87

Задание 8.1

Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 12°. Найдите градусную меру угла BAG.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 19°. Найдите градусную меру угла DAI.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Точки A, B, C, D и E последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой окружности.
Точки E, F, G, H, I и A последовательно отмечены на равном расстоянии на дуге некоторой другой окружности с центром C. Известно, что угол ABD больше угла AHG на 5°. Найдите градусную меру угла BAH.

Ответ: Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 11 класс Сириус школьный этап 2026

При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 7n)°) · cos((n² + 7n)°) < 0?

Ответ: 7

Задание 1.1

При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 11n)°) · cos((n² + 11n)°) < 0?

Ответ: 6

Задание 1.2

При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 5n)°) · cos((n² + 5n)°) < 0?

Ответ: 8

Задание 1.3

При каком наименьшем натуральном n выполняется неравенство
sin((n² + 3n)°) · cos((n² + 3n)°) < 0?

Ответ: 9

Задание 2

Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₅₀.

Ответ: 1/448

Задание 2.1

Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₅₀.

Ответ: 1/748

Задание 2.2

Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₁₀₀.

Ответ: 1/298

Задание 2.3

Последовательность задана условиями
a₁ = 1, aₙ₊₁ = aₙ/(1 + 3aₙ) для всех натуральных n.
Найдите a₂₀₀.

Ответ: 1/598

Задание 3

Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 20, а их медиана равна 23. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.

Ответ: 50

Задание 3.1

Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 17, а их медиана равна 20. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.

Ответ: 41

Задание 3.2

Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 15, а их медиана равна 18. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.

Ответ: 35

Задание 3.3

Пять различных натуральных чисел имеют среднее арифметическое 22, а их медиана равна 25. Найдите наибольшее возможное значение наибольшего из этих пяти чисел.

Ответ: 56

Задание 4

Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 4, а SC = 2 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.

Ответ: 8/3

Задание 4.1

Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 8, а SC = 4 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.

Ответ: 32/3

Задание 4.2

Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 10, а SC = 5 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.

Ответ: 50/3

Задание 4.3

Основание ABCD четырёхугольной пирамиды SABCD — квадрат со стороной 2, а SC = 1 — её высота. Точка P лежит на прямой AS. Найдите наименьшее возможное значение площади треугольника BDP.

Ответ: 2/3

Задание 5

Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 6)x + 4m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 4; 9

Задание 5.1

Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 5)x + 3m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 2; 6

Задание 5.2

Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 7)x + 5m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 6; 12

Задание 5.3

Для каких натуральных значений m уравнение x² − (m + 9)x + 7m = 0 имеет два различных натуральных корня? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 10; 18

Задание 6

На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 80. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 79 клеток так, чтобы среди них не было соседних?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.1

На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 140. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 139 клеток так, чтобы среди них не было соседних?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 120. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 119 клеток так, чтобы среди них не было соседних?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

На доске нарисован клетчатый прямоугольник 2 × 100. Будем считать две клетки соседними, если они имеют общую сторону. Сколькими способами можно закрасить ровно 99 клеток так, чтобы среди них не было соседних?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

В треугольнике ABC ∠ABC = 55°, ∠BAC = 63°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.1

В треугольнике ABC ∠ABC = 54°, ∠BAC = 67°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

В треугольнике ABC ∠ABC = 53°, ∠BAC = 66°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

В треугольнике ABC ∠ABC = 57°, ∠BAC = 65°. Точка M является серединой стороны BC. Окружность, касающаяся BC в точке B и отрезка AM, пересекает сторону AB в точке P. Окружность, касающаяся BC в точке C и отрезка AM, пересекает сторону AC в точке Q. Найдите угол APQ. Ответ выразите в градусах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 1, 2, 3, 4. Найдите P(1).

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.1

Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 2, 3, 4. Найдите P(1).

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 4. Найдите P(1).

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Приведённый многочлен четвёртой степени P(x) удовлетворяет условиям P(2ⁿ + 1) = 8ⁿ + 1 для n = 0, 1, 2, 5. Найдите P(1).

Ответ: Посмотреть ответ

Олимпиада Сириус по математике 1-2 группа регионов 13 октября 2026:

Белгородская область 25. Брянская область 26. Владимирская область 27. Воронежская область 28. город Санкт-Петербург 29. Ивановская область 30. Калининградская область 31. Калужская область 32. Кировская область 33. Костромская область 34. Курская область 35. Ленинградская область 36. Липецкая область 37. Нижегородская область 38. Орловская область 39. Республика Марий Эл 40. Республика Мордовия 41. Республика Татарстан 42. Республика Чувашия 43. Рязанская область 44. Смоленская область 45. Тамбовская область 46. Тверская область 47. Тульская область 48. Ярославская область

Архангельская область 2. Волгоградская область 3. Вологодская область 4. город Севастополь 5. Донецкая Народная Республика 6. Запорожская область 7. Кабардино-Балкарская Республика 8. Карачаево-Черкесская Республика 9. Краснодарский край 10. Мурманская область 11. Новгородская область 12. Псковская область 13. Республика Адыгея 14. Республика Дагестан 15. Республика Калмыкия 16. Республика Карелия 17. Республика Коми 18. Республика Крым 19. Республика Северная Осетия — Алания 20. Ростовская область 21. Ставропольский край 22. Херсонская область 23. Чеченская Республика.

Смотрите также на сайте олимпиады:

Олимпиада по физике «Сириус» 30 сентября 2025: задания и ответы для 7-11 классов школьный этап