15 октября 2026 Сириус ответы и задания для олимпиады по математике 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс школьный этап

Сириус по математике 4-11 класс готовые ответы и задания 2-4 группа школьный этап 15.10.2026. Бесплатные правильные ответы и решения на все задания для 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 и 11 класса олимпиада по математике школьный этап 2026 официальной всероссийской олимпиады школьников ВСОШ для регионов Сириус дата проведения 15 октября онлайн на сайте uts.sirius.online

4 класс

В каждый из одиннадцати дней Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 16

Задание 1.2

В каждый из девяти дней Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 13

Задание 1.3

В каждый из тринадцати дней Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 19

Задание 1.4

В каждый из семи дней недели Дима съедал хотя бы по одной шоколадке. Каждый день, кроме первого, количество съеденных Димой шоколадок отличалось на единицу от количества шоколадок, съеденных в предыдущий день. Какое наименьшее общее число шоколадок мог съесть Дима за все дни?

Ответ: 10

Задание 2

В тетради записано четырёхзначное число 2357. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 9875

Задание 2.2

В тетради записано четырёхзначное число 1358. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 9864

Задание 2.3

В тетради записано четырёхзначное число 1347. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 8754

Задание 2.4

В тетради записано четырёхзначное число 2347. Костя рассматривает всевозможные пары его цифр и для каждой пары считает сумму цифр. Например, для числа 567 он бы посчитал суммы 5 + 6, 6 + 7 и 5 + 7. После этого Костя выписывает на доску только те суммы, которые являются однозначными числами. Какое наибольшее число можно составить из чисел, написанных на доске?

Ответ: 9765

Задание 3

Мария набрала на компьютере строку, в которой много раз повторяется слово «математик». Затем между каждыми соседними словами она набрала одну букву «Ф». Первые символы получившейся строки выглядят следующим образом:

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 101-я буква «а»?

Ответ: 502

Задание 3.2

Мария набрала на компьютере строку, в которой много раз повторяется слово «математик». Затем между каждыми соседними словами она набрала одну букву «Ф». Первые символы получившейся строки выглядят следующим образом:

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 107-я буква «а»?

Ответ: 532

Задание 3.3

Мария набрала на компьютере строку, в которой много раз повторяется слово «математик». Затем между каждыми соседними словами она набрала одну букву «Ф». Первые символы получившейся строки выглядят следующим образом:

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 105-я буква «а»?

Ответ: 522

Задание 3.4

Мария набрала на компьютере строку, в которой много раз повторяется слово «математик». Затем между каждыми соседними словами она набрала одну букву «Ф». Первые символы получившейся строки выглядят следующим образом:

математикФматематикФматематикФматематикФ…

Первая буква «а» расположена на 2-й позиции, третья — на 12-й. На какой позиции находится 103-я буква «а»?

Ответ: 512

Задание 4

Даны три листа бумаги: первый — размером 13 × 22, второй — 10 × 15, третий — 8 × 14. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 484

Задание 4.2

Даны три листа бумаги: первый — размером 12 × 21, второй — 10 × 15, третий — 7 × 13. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 441

Задание 4.3

Даны три листа бумаги: первый — размером 12 × 18, второй — 10 × 15, третий — 7 × 13. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 324

Задание 4.4

Даны три листа бумаги: первый — размером 12 × 19, второй — 10 × 15, третий — 7 × 13. Все размеры приведены в дециметрах. Мадина хочет полностью покрыть этими листами квадратный ковёр, при этом стороны этих листов должны быть параллельны сторонам ковра. Листы могут частично перекрываться, а также могут выходить за край ковра. Какую наибольшую площадь может иметь ковёр? Ответ выразите в квадратных дециметрах.

Ответ: 361

Задание 5

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришли 153 жителя острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно семнадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно шестнадцать рыцарей. Трое — ровно пятнадцать рыцарей и т. д. Наконец, 17 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 9

Задание 5.2

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришли 66 жителей острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно одиннадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно десять рыцарей. Трое — ровно девять рыцарей и т. д. Наконец, 11 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 6

Задание 5.3

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришёл 91 житель острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно тринадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно двенадцать рыцарей. Трое — ровно одиннадцать рыцарей и т. д. Наконец, 13 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 7

Задание 5.4

На острове живут рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. На собрание пришли 120 жителей острова, и каждый сделал одно утверждение. Один из них заявил, что на этом собрании присутствует ровно пятнадцать рыцарей. Двое сказали, что на собрании присутствует ровно четырнадцать рыцарей. Трое — ровно тринадцать рыцарей и т. д. Наконец, 15 человек сказали, что на собрании присутствует ровно один рыцарь. Сколько рыцарей могло быть на собрании? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 0; 8

Задание 6

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 4 грамма, третья — 10 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

• 1 г
• 5 г
• 7 г
• 13 г
• 17 г

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 3 грамма, третья — 11 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

• 1 г
• 7 г
• 9 г
• 13 г
• 16 г

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 3 грамма, третья — 10 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

• 1 г
• 6 г
• 8 г
• 12 г
• 15 г

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

У фармацевта есть чашечные весы и три гирьки: одна весом в 1 грамм, другая — 3 грамма, третья — 9 граммов. Когда фармацевту нужно взвесить лекарство в виде порошка, он кладёт лист бумаги (с весом 0) на левую чашу весов и насыпает на него порошок. Гири разрешено ставить как на левую, так и на правую чашу. Например, фармацевт может положить на левую чашу гирю в 1 грамм, на правую — гирю в 3 грамма и таким образом отмерить 2 грамма порошка. Какую порцию порошка фармацевт НЕ сможет взвесить таким образом? Выберите все подходящие варианты:

• 1 г
• 5 г
• 7 г
• 11 г
• 14 г

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

В математический лагерь приехали 13 девочек, среди которых четыре пары сестёр: Ивановы, Петровы, Сидоровы и Андреевы. Для них подготовили один трёхместный и пять двухместных номеров. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

В математический лагерь приехали 11 девочек, среди которых три пары сестёр: Ивановы, Петровы и Сидоровы. Для них подготовили один трёхместный и четыре двухместных номера. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

В математический лагерь приехали 15 девочек, среди которых пять пар сестёр: Ивановы, Петровы, Сидоровы, Андреевы и Кочкаровы. Для них подготовили один трёхместный и шесть двухместных номеров. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

В математический лагерь приехали 17 девочек, среди которых шесть пар сестёр: Ивановы, Петровы, Сидоровы, Андреевы, Кочкаровы и Аникеевы. Для них подготовили один трёхместный и семь двухместных номеров. Сёстры должны жить вместе. Сколько существует способов расселить девочек в номера, если для каждой важны только соседи по комнате, а не расположение номеров?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 289, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 441, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 361, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Сергей вписал в квадратную таблицу натуральные числа от 1 до 225, каждое ровно один раз. Число 1 написано в центр таблицы, а остальные числа — по спирали, как показано на рисунке.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим числами во второй сверху строке этой таблицы.

Ответ: Посмотреть ответ

5 класс

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 19 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 171 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 40; 72; 59

Задание 1.2

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 19 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 151 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 35; 62; 54

Задание 1.3

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 18 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 161 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 38; 67; 56

Задание 1.4

Даша, Лиза и София проходят квест и за каждое выполненное задание получают баллы. Известно, что у Софии на 18 баллов больше, чем у Даши. У Лизы на 27 баллов меньше, чем у Даши и Софии вместе, а все вместе девочки набрали 181 балл. Сколько баллов у каждой из них?

Ответ: 43; 77; 61

Задание 2

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 13 кг, второй группы — 12 кг.

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8

Ответ: 3; 5 — на первый вопрос; 8 — на второй вопрос

Задание 2.2

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 15 кг, второй группы — 15 кг.

Рисунок к №2.2

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9

Ответ: 4; 5 — на первый вопрос; 9 — на второй вопрос

Задание 2.3

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 11 кг, второй группы — 10 кг.

Рисунок к №2.3

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7

Ответ: 2; 4 — на первый вопрос; 6 — на второй вопрос

Задание 2.4

Шесть гирь, веса которых указаны на рисунке, были разделены на три группы. Оказалось, что суммарный вес гирь первой группы равен 9 кг, второй группы — 8 кг.

Рисунок к №2.4

Какие гири оказались в третьей группе, если в каждой группе одинаковое количество гирь?

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Какие гири оказались в третьей группе, если есть хотя бы две группы с различным количеством гирь?

• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6

Ответ: 1; 3 — на первый вопрос; 4 — на второй вопрос

Задание 3

У Маши есть прозрачная плёнка и чёрный маркер. Она начертила на плёнке таблицу 6 × 6 и в середине каждой её клетки нарисовала кружок одного из трёх размеров: большой, маленький или средний. После этого Маша сложила плёнку пополам по вертикали и горизонтали и получила результат, показанный на рисунке.

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 18

Задание 3.2

У Маши есть прозрачная плёнка и чёрный маркер. Она начертила на плёнке таблицу 6 × 6 и в середине каждой её клетки нарисовала кружок одного из трёх размеров: большой, маленький или средний. После этого Маша сложила плёнку пополам по вертикали и горизонтали и получила результат, показанный на рисунке.

Рисунок к №3.2

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 24

Задание 3.3

У Маши есть прозрачная плёнка и чёрный маркер. Она начертила на плёнке таблицу 6 × 6 и в середине каждой её клетки нарисовала кружок одного из трёх размеров: большой, маленький или средний. После этого Маша сложила плёнку пополам по вертикали и горизонтали и получила результат, показанный на рисунке.

Рисунок к №3.3

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 21

Задание 3.4

У Маши есть прозрачная плёнка и чёрный маркер. Она начертила на плёнке таблицу 6 × 6 и в середине каждой её клетки нарисовала кружок одного из трёх размеров: большой, маленький или средний. После этого Маша сложила плёнку пополам по вертикали и горизонтали и получила результат, показанный на рисунке.

Рисунок к №3.4

Какое наибольшее количество кругов среднего размера могла нарисовать Маша?

Ответ: 17

Задание 4

На острове живут 105 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их разбили каким-то образом на тройки. Каждый человек в тройке высказался насчёт двух остальных. Оказалось, что один человек в каждой тройке сказал: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — лжец», а второй и третий сказали: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — рыцарь». Сколько рыцарей на острове?

Ответ: 70

Задание 4.2

На острове живут 99 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их разбили каким-то образом на тройки. Каждый человек в тройке высказался насчёт двух остальных. Оказалось, что один человек в каждой тройке сказал: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — лжец», а второй и третий сказали: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — рыцарь». Сколько лжецов на острове?

Ответ: 33

Задание 4.3

На острове живут 105 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их разбили каким-то образом на тройки. Каждый человек в тройке высказался насчёт двух остальных. Оказалось, что один человек в каждой тройке сказал: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — лжец», а второй и третий сказали: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — рыцарь». Сколько лжецов на острове?

Ответ: 35

Задание 4.4

На острове живут 99 человек — рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Их разбили каким-то образом на тройки. Каждый человек в тройке высказался насчёт двух остальных. Оказалось, что один человек в каждой тройке сказал: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — лжец», а второй и третий сказали: «Хотя бы один человек из оставшихся двух в нашей тройке — рыцарь». Сколько рыцарей на острове?

Ответ: 66

Задание 5

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Расстановку фигур, указанную на рисунке, будем называть исходной. Каждую фигуру можно переставить (необязательно по шахматным правилам) только в те клетки, в которых сумма номера строки и номера столбца такая же, как в исходной позиции для данной фигуры. Сколько существует способов переставить три указанные фигуры с учётом описанных ограничений? Позицию, указанную на рисунке, тоже необходимо учесть при подсчёте.

Ответ: 126

Задание 5.2

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Расстановку фигур, указанную на рисунке, будем называть исходной. Каждую фигуру можно переставить (необязательно по шахматным правилам) только в те клетки, в которых сумма номера строки и номера столбца такая же, как в исходной позиции для данной фигуры. Сколько существует способов переставить три указанные фигуры с учётом описанных ограничений? Позицию, указанную на рисунке, тоже необходимо учесть при подсчёте.

Ответ: 150

Задание 5.3

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Расстановку фигур, указанную на рисунке, будем называть исходной. Каждую фигуру можно переставить (необязательно по шахматным правилам) только в те клетки, в которых сумма номера строки и номера столбца такая же, как в исходной позиции для данной фигуры. Сколько существует способов переставить три указанные фигуры с учётом описанных ограничений? Позицию, указанную на рисунке, тоже необходимо учесть при подсчёте.

Ответ: 140

Задание 5.4

На шахматной доске 8 × 8 пронумеровали строки и столбцы.

Расстановку фигур, указанную на рисунке, будем называть исходной. Каждую фигуру можно переставить (необязательно по шахматным правилам) только в те клетки, в которых сумма номера строки и номера столбца такая же, как в исходной позиции для данной фигуры. Сколько существует способов переставить три указанные фигуры с учётом описанных ограничений? Позицию, указанную на рисунке, тоже необходимо учесть при подсчёте.

Ответ: 84

Задание 6

На 15 карточках написаны числа от 1 до 15 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 35. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 63. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 6. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

На 15 карточках написаны числа от 1 до 15 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 36. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 71. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 4. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

На 14 карточках написаны числа от 1 до 14 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 35. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 59. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 3. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

На 14 карточках написаны числа от 1 до 14 — по одному из этих чисел на каждой, числа не повторяются. Карточки выложили в ряд, при этом поворачивать или переворачивать их нельзя. Сумма чисел на карточках, лежащих слева от некоторой карточки A, равна 36. Сумма чисел на карточках, лежащих справа от некоторой карточки B, равна 54. Известно, что числа, записанные на карточках A и B, делятся на 4. Найдите сумму чисел на всех карточках между A и B.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 396 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 308 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 264 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Из 11 одинаковых кирпичей выложили фигуру, изображённую на рисунке.

Длина каждого кирпича в полтора раза больше высоты. Периметр полученной фигуры равен 352 см. Найдите площадь одного кирпича. Ответ выразите в квадратных сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра больше 1, на втором — больше 2 и т. д. Например, пароль 23456 является корректным, а 24356 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

Видно только последнюю введённую цифру, остальные заменяются символом *. Сколько возможных вариантов пароля хакеру нужно перебрать в худшем случае, чтобы подобрать нужный?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра больше 2, на втором — больше 3 и т. д. Например, пароль 34578 является корректным, а 35476 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

Видно только последнюю введённую цифру, остальные заменяются символом *. Сколько возможных вариантов пароля хакеру нужно перебрать в худшем случае, чтобы подобрать нужный?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра не меньше 1, на втором — не меньше 2 и т. д. Например, пароль 13578 является корректным, а 21476 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

Видно только последнюю введённую цифру, остальные заменяются символом *. Сколько возможных вариантов пароля хакеру нужно перебрать в худшем случае, чтобы подобрать нужный?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Пароль для входа в систему состоит из 5 различных цифр, причём на первом месте должна быть цифра больше 1, на втором — больше 2 и т. д. Например, пароль 23476 является корректным, а 24376 — нет. Сотрудник начал вводить пароль, но отвлёкся. Он не подозревал, что в этот самый момент вирус сделал скриншот его экрана и хакер увидел на мониторе часть введённого пароля:

Видно только последнюю введённую цифру, остальные заменяются символом *. Сколько возможных вариантов пароля хакеру нужно перебрать в худшем случае, чтобы подобрать нужный?

Ответ: Посмотреть ответ

6 класс

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Девять участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 15

Задание 1.2

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Семь участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 13

Задание 1.3

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Восемь участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 14

Задание 1.4

Паша и Сева участвовали в велогонке. Паша чувствовал себя прекрасно и завершил гонку четвёртым. Сева плохо спал прошлой ночью, поэтому он финишировал предпоследним. Шесть участников финишировали между Пашей и Севой. Сколько велосипедистов участвовало в гонке?

Ответ: 12

Задание 2

У Вани есть деревянный брусок размером 18 × 18 × 11. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 164

Задание 2.2

У Вани есть деревянный брусок размером 15 × 15 × 10. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 136

Задание 2.3

У Вани есть деревянный брусок размером 16 × 16 × 11. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 148

Задание 2.4

У Вани есть деревянный брусок размером 18 × 18 × 10. Вся его поверхность окрашена в красный цвет. Ваня распилил брусок на кубики 1 × 1 × 1. У скольких из них ровно две грани красного цвета?

Ответ: 160

Задание 3

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 140 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 70 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 70 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 70; 71

Задание 3.2

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 100 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 50 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 50 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 50; 51

Задание 3.3

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 120 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 60 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 60 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 60; 61

Задание 3.4

На острове живут рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда лгут. На заседании парламента острова собрались 160 жителей. У каждого из них спросили о том, сколько среди них рыцарей. Было названо 80 различных чисел. Затем половина участников покинула заседание. Одним из оставшихся оказался рыцарь Артур. У каждого из оставшихся 80 парламентариев спросили о том, сколько теперь рыцарей осталось на заседании. Оказалось, что все они назвали одно и то же число. Сколько рыцарей могло быть на заседании первоначально? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 80; 81

Задание 4

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 8, 4, 5, 9 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 10

Задание 4.2

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 7, 3, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 7

Задание 4.3

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 8, 4, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 8

Задание 4.4

На доске написаны 4 цифры в некотором порядке. За один ход разрешается или выбрать две соседние ненулевые цифры и уменьшить каждую из них на 1, или выбрать две соседние, отличные от девяток цифры и увеличить каждую из них на 1. За какое наименьшее число ходов из последовательности цифр 9, 5, 3, 7 (именно в таком порядке) можно получить 5, 2, 0, 3 (именно в таком порядке)?

Ответ: 9

Задание 5

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 16 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 45

Задание 5.2

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 10 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 39

Задание 5.3

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 24 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее трёх раз весы показали число 3. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 53

Задание 5.4

Есть восемь гирек разной целой массы в граммах. Масса одной из них равна 12 г. В необыкновенные весы можно поместить две гирьки, и они покажут, во сколько раз одна тяжелее другой (это число не обязательно будет целым). Весы использовали для каждой возможной пары гирек. Оказалось, что не менее пяти раз весы показали число 2. Найдите наименьшую возможную массу всех восьми гирек.

Ответ: 41

Задание 6

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1121 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1401 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1249 муравьёв: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Муравейник представляет собой квадрат, каждая клетка которого является комнатой. В муравейнике живёт 1001 муравей: обычные и муравьиные королевы. Обычные муравьи занимают одну комнату, а муравьиные королевы — все комнаты квадрата 3 × 3. Оказалось, что все комнаты заняты, причём каждая — ровно одним муравьём. Найдите наименьшую возможную длину стороны муравейника.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Число внутри каждого квадрата указывает, сколько волшебных цветков соберёт Лиза, если пройдёт через этот луг. Лиза начинает от входа на обозначенном стрелкой на лугу с одним цветком, а заканчивает у выхода на лугу с двумя цветками. Каждый раз Лиза переходит на луг, соседствующий по стороне с текущим. Лиза не посещает квадраты, на которых она уже бывала ранее. Если после прохода по очередному лугу количество цветков, которые окажутся в корзине Лизы, будет чётным, то все они исчезнут, и после посещения следующего луга у Лизы в корзине будет столько цветков, сколько растёт на этом следующем лугу. Например, если Лиза пройдёт по маршруту, показанному на рисунке, то на выходе из парка у неё будет 5 цветков.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Число внутри каждого квадрата указывает, сколько волшебных цветков соберёт Лиза, если пройдёт через этот луг. Лиза начинает от входа на обозначенном стрелкой на лугу с одним цветком, а заканчивает у выхода на лугу с двумя цветками. Каждый раз Лиза переходит на луг, соседствующий по стороне с текущим. Лиза не посещает квадраты, на которых она уже бывала ранее. Если после прохода по очередному лугу количество цветков, которые окажутся в корзине Лизы, будет чётным, то все они исчезнут, и после посещения следующего луга у Лизы в корзине будет столько цветков, сколько растёт на этом следующем лугу. Например, если Лиза пройдёт по маршруту, показанному на рисунке, то на выходе из парка у неё будет 5 цветков.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Число внутри каждого квадрата указывает, сколько волшебных цветков соберёт Лиза, если пройдёт через этот луг. Лиза начинает от входа на обозначенном стрелкой на лугу с одним цветком, а заканчивает у выхода на лугу с двумя цветками. Каждый раз Лиза переходит на луг, соседствующий по стороне с текущим. Лиза не посещает квадраты, на которых она уже бывала ранее. Если после прохода по очередному лугу количество цветков, которые окажутся в корзине Лизы, будет чётным, то все они исчезнут, и после посещения следующего луга у Лизы в корзине будет столько цветков, сколько растёт на этом следующем лугу. Например, если Лиза пройдёт по маршруту, показанному на рисунке, то на выходе из парка у неё будет 5 цветков.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Волшебный парк состоит из 15 квадратных лугов, как показано на рисунке.

Число внутри каждого квадрата указывает, сколько волшебных цветков соберёт Лиза, если пройдёт через этот луг. Лиза начинает от входа на обозначенном стрелкой на лугу с одним цветком, а заканчивает у выхода на лугу с двумя цветками. Каждый раз Лиза переходит на луг, соседствующий по стороне с текущим. Лиза не посещает квадраты, на которых она уже бывала ранее. Если после прохода по очередному лугу количество цветков, которые окажутся в корзине Лизы, будет чётным, то все они исчезнут, и после посещения следующего луга у Лизы в корзине будет столько цветков, сколько растёт на этом следующем лугу. Например, если Лиза пройдёт по маршруту, показанному на рисунке, то на выходе из парка у неё будет 5 цветков.

Какое наибольшее число цветков может иметь Лиза на выходе из парка?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Из 15 кирпичей построили пирамиду, как показано на рисунке.

На кирпичах написаны различные целые положительные числа, некоторые из них также указаны на рисунке. Оказалось, что число на каждом кирпиче, кроме нижних, равно сумме чисел на двух кирпичах, на которые он опирается.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих во втором снизу ряду.

Найдите сумму чисел на кирпичах, стоящих в нижнем ряду.

Ответ: Посмотреть ответ

7 класс

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

• Дима из Новосибирска спрятался вместе с Аней;
• в шкафу спрятались ровно двое детей;
• хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
• Ева была не одна;
• мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

• Дима
• Костя
• Ева
• Аня
• Маша

Ответ: Костя; Ева

Задание 1.2

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

• Костя из Новосибирска спрятался вместе с Аней;
• в шкафу спрятались ровно двое детей;
• хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
• Ева была не одна;
• мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

• Костя
• Ева
• Дима
• Маша
• Аня

Ответ: Дима; Ева

Задание 1.3

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

• Дима из Новосибирска спрятался вместе с Евой;
• в шкафу спрятались ровно двое детей;
• хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
• Аня была не одна;
• мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

• Дима
• Аня
• Ева
• Маша
• Костя

Ответ: Костя; Аня

Задание 1.4

Братья и сёстры Аня, Маша, Костя, Дима и Ева, приехавшие на каникулы к бабушке, играли в прятки. Известно, что:

• Костя из Новосибирска спрятался вместе с Евой;
• в шкафу спрятались ровно двое детей;
• хотя бы одна из девочек спряталась в одиночку;
• Аня была не одна;
• мальчик из Сочи находился в шкафу.

Кто спрятался в шкафу?

• Ева
• Костя
• Аня
• Дима
• Маша

Ответ: Дима; Аня

Задание 2

У Пети есть числа 5, 6, 7, 8, 9. Он сложил три из них и вычел из полученного результата сумму двух других. Какие числа он мог получить? Выберите все подходящие варианты:

• 0
• 1
• 4
• 7
• 8
• 13
• 15

Ответ: 1; 7; 13

Задание 2.2

У Пети есть числа 5, 6, 7, 8, 9. Он сложил три из них и вычел из полученного результата сумму двух других. Какие числа он мог получить? Выберите все подходящие варианты:

• 0
• 3
• 4
• 6
• 7
• 11
• 15

Ответ: 3; 7; 11

Задание 2.3

У Пети есть числа 5, 6, 7, 8, 9. Он сложил три из них и вычел из полученного результата сумму двух других. Какие числа он мог получить? Выберите все подходящие варианты:

• 0
• 3
• 4
• 5
• 6
• 11
• 15

Ответ: 3; 5; 11

Задание 2.4

У Пети есть числа 5, 6, 7, 8, 9. Он сложил три из них и вычел из полученного результата сумму двух других. Какие числа он мог получить? Выберите все подходящие варианты:

• 0
• 2
• 3
• 5
• 6
• 13
• 15

Ответ: 3; 5; 13

Задание 3

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 650 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 38 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 79; 492

Задание 3.2

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 680 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 39 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 82; 516

Задание 3.3

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 640 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 26 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 68; 504

Задание 3.4

У Оли есть карандаши двух цветов: красные и чёрные. Всего у неё 630 карандашей. Для конкурса ей нужно подготовить наборы двух видов: наборы по 2 красных карандаша и наборы по 12 чёрных карандашей. В итоге у неё получилось на 35 наборов красных карандашей больше, чем чёрных, и все карандаши были использованы.

Сколько наборов красных карандашей подготовила Оля?

Сколько чёрных карандашей у неё было?

Ответ: 75; 480

Задание 4

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 4 раза больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 4 раза больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 5

Задание 4.2

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 5 раз больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 5 раз больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 6

Задание 4.3

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 6 раз больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 6 раз больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 7

Задание 4.4

Петя нарисовал зелёный квадрат, а внутри него — синий квадрат, который затем вырезал. Оказалось, что площадь оставшейся зелёной фигуры в 7 раз больше площади синего квадрата. После этого внутри синего квадрата он нарисовал красный и вырезал его. И снова оказалось, что площадь оставшейся синей части в 7 раз больше, чем площадь красного квадрата.

Во сколько раз сторона зелёного квадрата больше стороны красного?

Ответ: 8

Задание 5

Имеются 3 игральных кубика: красный, жёлтый и зелёный, на грани которых нанесены цифры от 1 до 6. Подбросив 3 кубика, мы получаем трёхзначное число, в котором цифра сотен — это цифра, выпавшая на красном кубике, цифра десятков — на жёлтом и цифра единиц — на зелёном. Подбросив кубики по 2 раза, мы получаем два трёхзначных числа. Оказалось, что разность этих чисел равна 548.

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наибольшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 4; 780

Задание 5.2

Имеются 3 игральных кубика: красный, жёлтый и зелёный, на грани которых нанесены цифры от 1 до 6. Подбросив 3 кубика, мы получаем трёхзначное число, в котором цифра сотен — это цифра, выпавшая на красном кубике, цифра десятков — на жёлтом и цифра единиц — на зелёном. Подбросив кубики по 2 раза, мы получаем два трёхзначных числа. Оказалось, что разность этих чисел равна 547.

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наибольшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 3; 779

Задание 5.3

Имеются 3 игральных кубика: красный, жёлтый и зелёный, на грани которых нанесены цифры от 1 до 6. Подбросив 3 кубика, мы получаем трёхзначное число, в котором цифра сотен — это цифра, выпавшая на красном кубике, цифра десятков — на жёлтом и цифра единиц — на зелёном. Подбросив кубики по 2 раза, мы получаем два трёхзначных числа. Оказалось, что разность этих чисел равна 547.

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наименьшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 3; 775

Задание 5.4

Имеются 3 игральных кубика: красный, жёлтый и зелёный, на грани которых нанесены цифры от 1 до 6. Подбросив 3 кубика, мы получаем трёхзначное число, в котором цифра сотен — это цифра, выпавшая на красном кубике, цифра десятков — на жёлтом и цифра единиц — на зелёном. Подбросив кубики по 2 раза, мы получаем два трёхзначных числа. Оказалось, что разность этих чисел равна 548.

Сколько различных пар трёхзначных чисел, удовлетворяющих условию, могло выпасть?

Выберите пару с наименьшей возможной суммой. В ответ запишите эту сумму.

Ответ: 4; 774

Задание 6

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 5 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 1200

Задание 6.2

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 20 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 300

Задание 6.3

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 25 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 240

Задание 6.4

Два механических секундомера совместили так, что их секундные стрелки оказались направлены друг на друга. Один секундомер сломан — его стрелка движется в правильном направлении, но на 10 % быстрее. Оба секундомера включили одновременно.

Через какое наименьшее количество секунд их секундные стрелки снова будут направлены друг на друга?

Ответ: 600

Задание 7

Квадрат ABCD со стороной 14 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 5 раз меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

Чему может быть равна длина AE? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Квадрат ABCD со стороной 12 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 4 раза меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

Чему может быть равна длина AE? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Квадрат ABCD со стороной 10 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 5 раз меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

Чему может быть равна длина AE? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Квадрат ABCD со стороной 8 см разделили на три части, как указано на рисунке. Точка F выбрана на отрезке EB и может совпадать с одним из его концов. Оказалось, что площадь треугольника EDF в 4 раза меньше площади BCDF. Кроме того, длина стороны AE выражается целым числом сантиметров, и площади всех трёх полученных фигур целые.

Чему может быть равна длина AE? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 10 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 6 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 28 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

У Пети есть 8 палочек, длина каждой выражается целым числом, и нет двух палочек одинаковой длины. Длина одной из палочек составляет 18 сантиметров. Также имеется прибор, в который можно положить две палочки, и он покажет, во сколько раз одна из них (более длинная) длиннее другой. В прибор загрузили по очереди все возможные пары палочек. Прибор ровно 7 раз показал число 2. Какой может быть наименьшая суммарная длина всех палочек? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: Посмотреть ответ

8 класс

Если взять 8 % от натурального числа X и округлить до целого, то получится однозначное число, а если взять 9 % от X и тоже округлить до целого, то результат будет двузначным. Найдите наименьшее значение X.

Ответ: 106

Задание 1.2

Если взять 7 % от натурального числа X и округлить до целого, то получится однозначное число, а если взять 8 % от X и тоже округлить до целого, то результат будет двузначным. Найдите наибольшее значение X.

Ответ: 135

Задание 1.3

Если взять 8 % от натурального числа X и округлить до целого, то получится однозначное число, а если взять 9 % от X и тоже округлить до целого, то результат будет двузначным. Найдите наибольшее значение X.

Ответ: 118

Задание 1.4

Если взять 7 % от натурального числа X и округлить до целого, то получится однозначное число, а если взять 8 % от X и тоже округлить до целого, то результат будет двузначным. Найдите наименьшее значение X.

Ответ: 119

Задание 2

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 11, а сумма квадратов составляет 42?

Ответ: -8

Задание 2.2

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 5, а сумма квадратов составляет 39?

Ответ: -7

Задание 2.3

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 15, а сумма квадратов составляет 51?

Ответ: -9

Задание 2.4

Чему равна сумма двух отрицательных (не обязательно целых) чисел, если их произведение равно 14, а сумма квадратов составляет 72?

Ответ: -10

Задание 3

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 26 учеников окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по половине шоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 12 шоколадок. Хорошистов в классе больше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 16; 9

Задание 3.2

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 22 ученика окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по половине шоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 10 шоколадок. Троечников в классе меньше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 12; 9

Задание 3.3

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 27 учеников окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по половине шоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 12 шоколадок. Троечников в классе меньше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 14; 12

Задание 3.4

Отличница Маша посчитала, что в её классе все 29 учеников окончили учебный год без двоек. Каждому отличнику (в том числе и себе) Маша подарила по шоколадке, каждому хорошисту — по полшоколадки, каждому троечнику — по 1/3 шоколадки. Всего на подарки понадобилось ровно 13 шоколадок. Хорошистов в классе больше половины. Сколько в классе отличников, хорошистов и троечников?

Ответ: 1; 16; 12

Задание 4

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 101 до 199 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 254

Задание 4.2

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 102 до 200 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 453

Задание 4.3

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 90 до 188 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 417

Задание 4.4

В таблице 7 строк и 99 столбцов, в каждую ячейку записано натуральное число. В первой строке записаны числа от 100 до 198 в некотором порядке. Для каждой из оставшихся ячеек верно, что число, написанное в ней, вдвое больше числа, написанного в ячейке, расположенной непосредственно над ней. Найдите сумму всех чисел в таблице. В ответ запишите произведение наибольшего и наименьшего простых чисел, на которые делится эта сумма.

Ответ: 447

Задание 5

Алла ходит по прямой набережной длиной 1,2 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 150 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 1,5 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 390

Задание 5.2

Алла ходит по прямой набережной длиной 1,1 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1600/3

Задание 5.3

Алла ходит по прямой набережной длиной 1,3 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1900/3

Задание 5.4

Алла ходит по прямой набережной длиной 1 км, в каждой из крайних точек она разворачивается и тут же идёт обратно. Миша выходит на набережную в точке, отстоящей на 200 м от одной из крайних точек, и начинает так же ходить вдоль набережной со скоростью, в 2 раза большей, чем у Аллы. Миша и Алла оказались в одной точке — то есть либо встретились, либо один догнал другого — через максимально возможное время после выхода Миши. На каком расстоянии от ближайшего конца набережной это произошло? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1400/3

Задание 6

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 207 и 413. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 411

Задание 6.2

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 217 и 422. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 431

Задание 6.3

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 232 и 411. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 461

Задание 6.4

Рассматривается неравнобедренный треугольник, две стороны которого равны 227 и 411. Сколько существует возможных целых значений длины третьей стороны?

Ответ: 451

Задание 7

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 858, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 786, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 714, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Заполните пропуски в тексте древней летописи.

Во граде великом славный люд живёт: каждый из них — либо витязь, либо купец, но не стоять граду без хотя бы одного витязя-заступника. Речи витязей всегда правдивы, а купцы товар сбывают, посему всегда лгут. И выстроились в круг все жители того достойного града, общим числом 912, и каждый из них молвил: «Среди моих двух соседей есть [хотя бы / ровно] один витязь». Поглядел-послушал это калика перехожий, да тут же определил, что витязей во граде ____.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Маша нарисовала треугольник MNP и провела в нём биссектрису PK. В каждом из треугольников MPK и NPK она ещё провела по одной медиане, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Маша нарисовала треугольник DEF и провела в нём медиану EM. В каждом из треугольников DEM и MEF она провела по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Маша нарисовала треугольник PQR и провела в нём биссектрису PM. В каждом из треугольников QPM и RPM она провела ещё по одной биссектрисе, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Маша нарисовала треугольник ABC и провела в нём медиану BK. В каждом из треугольников ABK и CBK она провела ещё по одной медиане, получив тем самым четыре треугольника. Сколько пар равных треугольников могло получиться у Маши? Если равных треугольников несколько, надо учитывать все возможные пары, образуемые ими. В ответе укажите все возможные варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: Посмотреть ответ

9 класс

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 7/4 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 11/5

Задание 1.2

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 14/9 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 17/9

Задание 1.3

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 12/7 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 15/7

Задание 1.4

В гостиной находилось трое детей. Когда мама зашла в гостиную, средний возраст присутствующих в гостиной увеличился в 11/6 раза. Во сколько раз по отношению к начальному изменится средний возраст присутствующих, если в гостиную войдёт и папа? Известно, что они с мамой ровесники. Ответ выразите в виде обыкновенной несократимой дроби.

Ответ: 7/3

Задание 2

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 12 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 6 минут. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 3

Задание 2.2

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 6 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 3 минуты. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 3/2

Задание 2.3

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 15 минут. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 6

Задание 2.4

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 12 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях и встретились через 3 минуты. Через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 2

Задание 3

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84). Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 25.

Ответ: 256

Задание 3.2

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84). Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 78.

Ответ: 784

Задание 3.3

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84). Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 57.

Ответ: 576

Задание 3.4

В числителе и знаменателе дроби — двузначные числа без нулевых цифр. Известно, что дробь сохранит своё значение, если пары цифр и в числителе, и в знаменателе поменять местами (например, 36/48 = 63/84). Найдите произведение этих четырёх цифр, если известно, что это произведение больше 100 из начинается с цифр 32.

Ответ: 324

Задание 4

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, √73 и 3 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 64

Задание 4.2

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 13, √34 и 5 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 54

Задание 4.3

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 5, 3√5 и 3 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 40

Задание 4.4

В остроугольном треугольнике расстояния от точки пересечения высот до двух вершин, а также до соединяющей эти вершины стороны равны 13, √89 и 5 соответственно. Найдите площадь этого треугольника.

Ответ: 192

Задание 5

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 20/81 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 9/5; 9/4

Задание 5.2

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 6/25 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 5/3; 5/2

Задание 5.3

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 12/49 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 7/4; 7/3

Задание 5.4

Даны квадратные трёхчлены f₁ = ax² + bx + c, f₂ = bx² + cx + a, f₃ = cx² + ax + b. Найдите сумму корней трёхчлена f₃, если известно, что отношение отрицательного корня трёхчлена f₁ к отрицательному корню трёхчлена f₂ равно 2/9 и a + b + c = 0. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3/2; 3

Задание 6

Дана клетчатая доска 102 × 105, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Дана клетчатая доска 101 × 102, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Дана клетчатая доска 103 × 101, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Дана клетчатая доска 101 × 104, размер каждой клетки 1 × 1. Для каждой клетки А посчитали количество клеток Б, отличных от клетки А, таких, что расстояние между центрами клеток А и Б не больше 2. Это число будем называть индексом клетки А. На доске выделили максимальное по количеству клеток множество М клеток, произведение индексов которых — степень нечётного простого числа. Сколько клеток содержит множество М?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E. Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 6.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E. Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 10.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E. Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 8.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

В треугольнике ABC (BC > AB) проведена биссектриса BL. Пусть D — точка, симметричная точке A относительно прямой BL. Прямая, проходящая через точку D параллельно BL, пересекает сторону AC в точке E. Найдите отношение AB : BC, если CE : EA = 1 : 4.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

В спортивный лагерь приехали на отдых 155 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

• 19
• 20
• 23
• 25
• 26
• 27
• 28

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

В спортивный лагерь приехали на отдых 134 школьника. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

• 16
• 19
• 20
• 23
• 25
• 26
• 27

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

В спортивный лагерь приехали на отдых 148 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

• 19
• 20
• 22
• 23
• 24
• 25
• 26

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

В спортивный лагерь приехали на отдых 127 школьников. Школьники A и B считаются приятелями, если они лично знают друг друга либо если найдутся такие школьники C₁, C₂, …, Cₖ, что A знает C₁, C₁ знает C₂, …, Cₖ знает B. Известно, что в лагере среди любых 8 школьников имеется пара приятелей. Требуется сформировать команду из N школьников так, чтобы любые двое в ней оказались приятелями. Для каких N это гарантированно можно сделать? Выберите все подходящие варианты:

• 17
• 18
• 19
• 21
• 22
• 23
• 24

Ответ: Посмотреть ответ

10 класс

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 4. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 24

Задание 1.2

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 3. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 33

Задание 1.3

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 5. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 19

Задание 1.4

Завуч проанализировала успеваемость класса по итогам полугодия и увидела, что переход одного из троечников в хорошисты дал бы увеличение процента хорошистов более чем на 6. Какое максимальное число учеников могло быть в этом классе?

Ответ: 16

Задание 2

Известно, что √(2x² + x + 5) + √(2x² + x) = 3. Найдите √(2x² + x + 5) − √(2x² + x).

Ответ: 5/3

Задание 2.2

Известно, что √(2x² − x + 3) + √(2x² − x) = 5. Найдите √(2x² − x + 3) − √(2x² − x).

Ответ: 3/5

Задание 2.3

Известно, что √(2x² − 3x + 3) + √(2x² − 3x) = 4. Найдите √(2x² − 3x + 3) − √(2x² − 3x).

Ответ: 3/4

Задание 2.4

Известно, что √(2x² − x + 4) + √(2x² − x) = 3. Найдите √(2x² − x + 4) − √(2x² − x).

Ответ: 4/3

Задание 3

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 58 ответов «булочки» и 32 ответа «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 2; 8

Задание 3.2

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 36 ответов «булочки» и 36 ответов «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3; 6

Задание 3.3

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 44 ответа «булочки» и 28 ответов «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 2; 7

Задание 3.4

Социологи неопровержимо доказали: любители булочек всегда говорят правду, а любители пирожков — всегда врут. В некоторой компании у каждого спросили, что любит каждый из остальных. Было получено 48 ответов «булочки» и 42 ответа «пирожки». Сколько человек в этой компании могут любить булочки? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ: 3; 7

Задание 4

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 54°.

Ответ: 81

Задание 4.2

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 59°.

Ответ: 76

Задание 4.3

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 62°.

Ответ: 73

Задание 4.4

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AD и BE, H — точка их пересечения. Найдите градусную меру угла ACB, если известно, что BH = AC и угол CAB равен 57°.

Ответ: 78

Задание 5

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((2x + 3)/(x − 1)) = 3/x. Найдите f(3).

Ответ: 1/2

Задание 5.2

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((2x + 5)/(x − 1)) = 9/x. Найдите f(4).

Ответ: 2

Задание 5.3

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((2x + 1)/(x − 1)) = 1/x. Найдите f(3).

Ответ: 1/4

Задание 5.4

Функция f(x) определена для каждого действительного числа x, отличного от 0 и 1. Известно, что f((4x + 3)/(x − 1)) = 3/x. Найдите f(3).

Ответ: -1/2

Задание 6

Имеется квадратное поле со стороной 20√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 4 секунды с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Имеется квадратное поле со стороной 12√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 2 секунды с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Имеется квадратное поле со стороной 20√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 5 секунд с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Имеется квадратное поле со стороной 18√3 метра. С какой скоростью нужно бежать из его центра по лучу, направление которого выбирается случайно, чтобы ровно через 6 секунд с вероятностью 2/3 оказаться в точке, находящейся на границе квадрата или вне его? Ответ выразите в метрах в секунду.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √29. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки b2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √13. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки c2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной √41. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки b1 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Клетки доски 5 × 8 являются квадратами со стороной 2√5. Горизонтали доски пронумерованы числами от 1 до 5, а вертикали буквами a, b, c, d, e, f, g, h. Из центра клетки d2 в центры всех остальных клеток построили 39 векторов.

Какую длину имеет сумма этих векторов?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

На окружности отмечены 26 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 26 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

На окружности отмечены 25 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 25 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

На окружности отмечены 28 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 28 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

На окружности отмечены 27 точек. Рядом с каждой точкой записали натуральное число так, что все 27 записанных чисел различны. Две точки соединили отрезком, если отношение чисел, записанных рядом с этими точками, равно простому числу. На отрезках написали эти простые числа. Оказалось, что все написанные простые числа различны. Какое максимальное количество отрезков может быть проведено?

Ответ: Посмотреть ответ

Олимпиада по математике 11 класс Сириус школьный этап 2026

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 16 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 8 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 28

Задание 1.2

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 11 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 13 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 23

Задание 1.3

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 14 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 10 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 26

Задание 1.4

В конце четверти учитель математики обнаружил, что если он поставит ученикам 8А ещё 17 двоек, то средний балл класса по математике опустится до 3,5, а если поставит 7 пятёрок, то средний балл повысится до 4,5. Скольким ученикам 8А класса он уже выставил оценки за четверть?

Ответ: 29

Задание 2

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 14/5.

Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.

Ответ: 8; 12

Задание 2.2

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 17/6.

Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.

Ответ: 10; 15

Задание 2.3

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 11/4.

Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.

Ответ: 6; 9

Задание 2.4

Решите в целых числах уравнение

x + 1/(y + 1/z) = 8/3.

Здесь x и произведение yz положительны. Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости. Для каждого случая в ответ записывайте произведение найденных чисел.

Ответ: 4; 6

Задание 3

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 45 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 4 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 17 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 9

Задание 3.2

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 42 минуты (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 3 минуты позже Пети. В итоге они встретились через 12 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 7

Задание 3.3

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 20 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 18 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 6

Задание 3.4

В парке с кольцевой дорожкой для катания можно брать напрокат велосипеды или самокаты. Петя взял велосипед, Коля — самокат, и Петя обогнал Колю на круг через 48 минут (они выехали одновременно в одном направлении). Потом они поехали оба на самокатах в противоположных направлениях, при этом Коля отдыхал после первого заезда и начал движение на 6 минут позже Пети. В итоге они встретились через 15 минут после начала движения Пети. А через сколько минут после начала движения они встретились бы, если бы одновременно поехали в противоположных направлениях на велосипедах? Скорости обоих мальчиков на велосипедах и скорости на самокатах одинаковы.

Ответ: 8

Задание 4

Сколькими способами отрезок длины 37 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 24

Задание 4.2

Сколькими способами отрезок длины 49 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 32

Задание 4.3

Сколькими способами отрезок длины 53 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 36

Задание 4.4

Сколькими способами отрезок длины 43 можно разделить на четыре отрезка целочисленной длины так, чтобы среди этих четырёх отрезков было три отрезка одинаковой длины и из всех четырёх отрезков можно было бы сложить четырёхугольник?

Ответ: 28

Задание 5

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 31. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Ответ: 319

Задание 5.2

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 30. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Ответ: 308

Задание 5.3

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 29. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Замечание. Запись x̅y̅ обозначает двузначное число, в котором x — количество десятков, y — количество единиц.

Ответ: 297

Задание 5.4

Пусть a, b, c, d — различные ненулевые цифры. Известно, что сумма двузначных чисел a̅b̅, b̅c̅, c̅d̅, d̅a̅ — трёхзначное число N, начинающееся с цифр 27. Какое наибольшее число N может удовлетворять условию задачи?

Ответ: 275

Задание 6

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 3, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 7/6. Найдите наименьший из этих восьми корней.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.2

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 4, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 13/12. Найдите наименьший из этих восьми корней.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.3

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 6, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 31/30. Найдите наименьший из этих восьми корней.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 6.4

Ненулевые числа a, b, c, d, p, q, r, t таковы, что каждое из квадратных уравнений ax² − px + c = 0, bx² − qx + d = 0, cx² − rx + a = 0, dx² − tx + b = 0 имеет по два положительных корня, образующих множество K из восьми чисел — корней этих уравнений. Известно, что произведение шести наибольших чисел множества K равно 5, а сумма двух наименьших чисел множества K равна 21/20. Найдите наименьший из этих восьми корней.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 4. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 16, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 40.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.2

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 16. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 64, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 136.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.3

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 25. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 100, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 208.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 7.4

Дана треугольная пирамида ABCD. Середину ребра AB соединили с серединами всех других рёбер, кроме CD, и получили 4 отрезка, произведение длин которых равно 9. Найдите квадрат длины ребра CD, если известно, что произведение площадей треугольников CAD и CBD равно 36, а сумма квадратов всех рёбер пирамиды без AB и CD равна 80.

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 3a и 4a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.2

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 8a и 15a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.3

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 35a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

Ответ: Посмотреть ответ

Задание 8.4

Колесо в форме правильного шестиугольника со стороной a прокатилось без проскальзывания по периметру прямоугольного треугольника с катетами 5a и 12a (полностью), вернувшись в исходную позицию.

Какую длину имеет траектория движения центра колеса, если известно, что a = 1/π?

Ответ: Посмотреть ответ

Олимпиада Сириус по математике 2-4 группа регионов 15 октября 2026:

Белгородская область 25. Брянская область 26. Владимирская область 27. Воронежская область 28. город Санкт-Петербург 29. Ивановская область 30. Калининградская область 31. Калужская область 32. Кировская область 33. Костромская область 34. Курская область 35. Ленинградская область 36. Липецкая область 37. Нижегородская область 38. Орловская область 39. Республика Марий Эл 40. Республика Мордовия 41. Республика Татарстан 42. Республика Чувашия 43. Рязанская область 44. Смоленская область 45. Тамбовская область 46. Тверская область 47. Тульская область 48. Ярославская область

Алтайский край 65. Амурская область 66. Еврейская автономная область 67. Забайкальский край 68. Иркутская область 69. Камчатский край 70. Кемеровская область — Кузбасс 71. Красноярский край 72. Магаданская область 73. Новосибирская область 74. Приморский край 75. Республика Алтай 76. Республика Бурятия 77. Республика Саха (Якутия) 78. Республика Тыва 79. Республика Хакасия 80. Сахалинская область 81. Томская область 82. Хабаровский край 83. Чукотский автономный округ

Смотрите также на сайте олимпиады:

Олимпиада по физике «Сириус» 30 сентября 2025: задания и ответы для 7-11 классов школьный этап